Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A（-3，0），B（1，0），過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

（1）a= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．

（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1），，C（﹣1，4）；（2）存在，點(diǎn)D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；

（3）首先求出直線CA的解析式為，再利用聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

試題解析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，，∴，∴，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，∴△CED∽△DOA，∴．設(shè)D（0，c），則．變形得，解之得，．綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；

（3）①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴．設(shè)M（m，0），則，∴m=2，即M（2，0）．設(shè)直線CM的解析式為，則：，解得：，．∴直線CM的解析式為：．聯(lián)立，解得：或（舍去）．∴P（，）．

②若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N．由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得．∴AN=2，F(xiàn)N=1，CH=4，HO=1，則AH=2，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣5，1）．設(shè)直線CF的解析式為，則，解得：，．∴直線CF的解析式為：．聯(lián)立：，解得：或（舍去）．∴P（，）．

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題．