【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點,交軸于點,點為該二次函數(shù)圖象頂點.連接、及、.
(1)如圖1,若點的坐標(biāo),頂點坐標(biāo).
①求的值,并說明;
②如圖2,點是拋物線的對稱軸上一點,以點為圓心的圓經(jīng)過、兩點,且與直線相切,求點的坐標(biāo);
(2)若,點,點,如圖3,動點在直線上方的二次函數(shù)圖象上.過點作于點,是否存在點,使得中的某個角恰好等于的2倍?若存在,求出點的橫坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)①,見解析;②點P的坐標(biāo)為(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣);(2)G的橫坐標(biāo)或
【解析】
(1)①設(shè),將點B坐標(biāo)代入,求出a值,得到拋物線表達(dá)式,令y=0,求出點A坐標(biāo),根據(jù)OB和OC得出∠CBO=∠OCB,再根據(jù)各點坐標(biāo)算出BC,DC,BD的長,證明△BCD是直角三角形,推出∠DBC=∠OCA,從而得到結(jié)論;
②設(shè)直線CD切⊙P于點E.連結(jié)PE、PA,作CF⊥DQ于點F,證明△DEP為等腰三角形,設(shè)P(1,m),在△APQ中,利用勾股定理列出方程,解出m,可得點P坐標(biāo);
(2)分,兩種情況分別討論,列出相應(yīng)方程,解之即可.
解:(1)①設(shè),將B(3,0)代入,
解得,
∴拋物線的解析式是:,即,
令,則,,,
∴A(-1,0),
∴,
∴∠CBO=∠OCB,,
∵,,,
∴,是直角三角形且,
∴,
又∵∠DBC和∠OCA都是銳角,
∴∠DBC=∠OCA,
∴∠DBA=∠ACB;
②如圖,設(shè)直線CD切⊙P于點E.連結(jié)PE、PA,作CF⊥DQ于點F,
∴PE⊥CD,PE=PA,
由y=﹣x2+2x+3,得:對稱軸為直線x=1,C(0,3)、D(1,4),
∴DF=4﹣3=1,CF=1,
∴DF=CF,
∴△DCF為等腰直角三角形,
∴∠CDF=45°,
∴∠EDP=∠EPD=45°,
∴DE=EP,
∴△DEP為等腰三角形,
設(shè)P(1,m),D(1,4),
∴,
∴,
∴EP2=(4﹣m)2,
在△APQ中,∠PQA=90°,
∴AP2=AQ2+PQ2=[1-(-1)]2+m2
∴(4﹣m)2=[1-(-1)]2+m2,
整理,得m2+8m﹣8=0,
解得,m=﹣4±,
∴點P的坐標(biāo)為(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣);
(2)G的橫坐標(biāo)或,
①若,
∴,
∴,
當(dāng)時,
,
∴,
于是,,
∴,
∴,
∴(舍),,
∴;
②若,
取的中點,
則,
∴,
∴,
令,,則,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴
故點G的橫坐標(biāo)或.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于兩點,并經(jīng)過點,已知點坐標(biāo)是,點坐標(biāo)是.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及點的坐標(biāo);
(3)二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點,使得的周長最。咳點存在,求出點的坐標(biāo),若點不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖1,直線BC及直線BC外一點P.
求作:直線PE,使得PE∥BC.
作法:如圖2.
①在直線BC上取一點A,連接PA;
②作∠PAC的平分線AD;
③以點P為圓心,PA長為半徑畫弧,交射線AD于點E;
④作直線PE.
所以直線PE就是所求作的直線.根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形(保留作圖痕跡);
(2)完成下面的證明.
證明:∵AD平分∠PAC,
∴∠PAD=∠CAD.
∵PA=PE,
∴∠PAD= ,
∴∠PEA= ,
∴PE∥BC.( )(填推理依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形OABC的一個頂點O是平面直角坐標(biāo)系的原點,頂點A,C分別在y軸和x軸上,P為邊OC上的一個動點,且PQ⊥BP,PQ=BP,當(dāng)點P從點C運動到點O時,可知點Q始終在某函數(shù)圖象上運動,則其函數(shù)圖象是( )
A.線段B.圓弧
C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分
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【題目】撫順某中學(xué)為了解八年級學(xué)生的體能狀況,從八年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測試,測試結(jié)果分為A,B,C,D四個等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求測試結(jié)果為C等級的學(xué)生數(shù),并補全條形圖;
(3)若該中學(xué)八年級共有700名學(xué)生,請你估計該中學(xué)八年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為D等級的學(xué)生有多少名?
(4)若從體能為A等級的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生,做為該校培養(yǎng)運動員的重點對象,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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【題目】(感知)如圖①,正方形中,點在邊上,平分.若我們分別延長與,交于點,則易證.(不需要證明)
(探究)如圖②,在矩形中,點在邊的中點,點在邊上,平分.求證:.
(應(yīng)用)在(探究)的條件下,若,,直接寫出的長.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)(x>0)的圖象與直線l1:交于點A,與直線l2:x=k交于點B.直線l1與l2交于點C.
(1) 當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為1時,則此時k的值為 _______;
(2) 橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點. 記函數(shù)(x>0) 的圖像在點A、B之間的部分與線段AC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當(dāng)k=3時,結(jié)合函數(shù)圖像,則區(qū)域W內(nèi)的整點個數(shù)是_________;
②若區(qū)域W內(nèi)恰有1個整點,結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出k的取值范圍:___________.
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【題目】為了解某市初中學(xué)生課外閱讀情況,調(diào)查小組對該市這學(xué)期初中學(xué)生閱讀課外書籍的冊數(shù)進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖.
根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該市共有12000名初中生,估計該市初中學(xué)生這學(xué)期課外閱讀超過2冊的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AB:BC=3:2,點A(3,0),B(0,6)分別在x軸,y軸上,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點D,且與邊BC交于點E,則點E的坐標(biāo)為__.
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