Question

如圖，Rt△ACB≌Rt△ACO，點A在第二象限內(nèi)，點B，C在x軸的負半軸上，OA=4，∠CAO=30°．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直線OA于點E，A′B′分別交直線OA，CA于點F，G，請求出線段A′E的長度；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將△A′CB′繞點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△COE的面積為

3

4

時，求直線CE的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）首先在Rt△ACO中，根據(jù)∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的長，然后就可以得到點C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)已知條件容易得到△CEO為等邊三角形，即可知CE長度，然后根據(jù)勾股定理可得AC的長度，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=A′C，即可求得A′E；
（3）過點E₁作E₁M⊥OC于點M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出點E₁的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線CE的解析式．此題有兩種情況，分別是E在第二或四象限里．

解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C點的坐標(biāo)為（-2，0）．

（2）根據(jù)題意可知∠ACA′=30°，
∴∠A′CO=60°，
∵∠AOC=90°-∠CAO=30°，
∴△CEO為等邊三角形，
∴CE=CO=2，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=A′C，
∵AC²+CO²=AO²，
∴AC=2

3

，
∴A′E=A′C-CE=2

3

-2

（3）如答圖1，過點E₁作E₁M⊥OC于點M．
∵S_△COE1=

1

2

CO•E₁M=

3

4

，
∴E₁M=

3

4

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，則

-2k1+b1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
∴tan60°=

E1M

OM

，
∴OM=

1

4

，
∴點E₁的坐標(biāo)為（-

1

4

，

3

4

）．
設(shè)直線CE₁的函數(shù)表達式為y=k₁x+b₁，則

-2k1+b 1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
解得

k1= 3 7 b1= 2 3 7

．
∴y=

3

7

x+

2 3

7

．
同理，如答圖2所示，點E₂的坐標(biāo)為（

1

4

，-

3

4

）．
設(shè)直線CE₂的函數(shù)表達式為y=k₂x+b₂，則

-2k2+b2=0 1 4 k2+b2=- 3 4

，
解得

k2=- 3 9 b2=- 2 3 9

．
∴y=-

3

9

x-

2 3

9

．

點評：考查了直角三角形、一次函數(shù)．此題是開放性試題，把直角三角形、一次函數(shù)等知識綜合在一起，要求學(xué)生對這些知識比較熟練，利用幾何方法解決代數(shù)問題．