Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，，三點．

求此拋物線的解析式；

若點是線段上的點（不與，重合），過作軸交拋物線于，設點的橫坐標為，請用含的代數式表示的長；

在的條件下，連接，，是否存在點，使的面積最大？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在；當時，的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長．
（3）設MN交x軸于D，那么△BNC的面積可表示為：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MNOB，MN的表達式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關于S△BNC、m的函數關系式，根據函數的性質即可判斷出△BNC是否具有最大值．

設拋物線的解析式為：，則：

，；

∴拋物線的解析式：．

設直線的解析式為：，則有：

，

解得；

故直線的解析式：．

已知點的橫坐標為，，則、；

∴故．

如圖；

∵，

∴；

∴當時，的面積最大，最大值為．