Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，3）、B（4，0）和原點O．P為二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點P在直線OA的上方時，且使得S_△PCO=S_△CDO，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形？如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)y=ax（x-4），把A點坐標(biāo)代入即可求出答案；
（2）根據(jù)點的坐標(biāo)設(shè)出點P和點C的坐標(biāo)，表示出PC和CD的長度，要使得S_△PCO=S_△CDO，則有PC=CD，代入求出坐標(biāo)即可；
（3）當(dāng)0＜m＜3時，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當(dāng)4＞m≥3時，PC=CD-PD=m²-3m，OC=

2

，分為三種情況：①當(dāng)OC=PC時，m²-3m=

2

m，求出方程的解即可得到P的坐標(biāo)；同理可求：②當(dāng)OC=OP時，③當(dāng)PC=OP時，點P的坐標(biāo)．綜合上述即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)y=ax（x-4），
把A點坐標(biāo)（3，3）代入得：
a=-1，
故函數(shù)的解析式為y=-x²+4x；

（2）要使S_△PCO=S_△CDO，即PC=CD，
∵D（m，0），PD⊥x軸，
且P在y=-x²+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m²+4m），C（m，m），
∴CD=OD=m，PC=PD-CD=-m²+4m-m=-m²+3m，
當(dāng)PC=CD時，-m²+3m=m，m₁=2，m₂=0（舍去）
當(dāng)x=2時，y=4，
∴P（2，4）；

（3）當(dāng)0＜m＜3時，僅有OC=PC，
∴-m²+3m=

2

m，
解得：m=3-

2

，
∴P（3-

2

，1+2

2

）；
當(dāng)4＞m≥3時，
PC=CD-PD=m²-3m，
OC=

2

m，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m-4）²，
①當(dāng)OC=PC時，m²-3m=

2

m，
解得：m=3+

2

或m=0（舍去），
∴P（3+

2

，1-2

2

）；
②當(dāng)OC=OP時，（

2

m）²=m²+m²（m-4）²，
解得：m₁=5，m₂=3，
∵m=3時，P和A重合，即P和C重合，不能組成△POC，
∴m=3舍去，
∴P（5，-5）；
③當(dāng)PC=OP時，m²（m-3）²=m²+m²（m-4）²，
解得：m=4，
∴P（4，0），
故P的坐標(biāo)是（3-

2

，1+2

2

）或（3+

2

，1-2

2

）或（5，-5）或（4，0）．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，此題是一個綜合性比較強的題目，第（3）小題有一定的難度．