Question

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如圖（1），則根據(jù)勾股定理，得a²＋b²＝c²．若△ABC不是直角三角形，如圖（2）和（3），請你類比勾股定理，試猜想a²＋b²與c²的關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

若△ABC為銳角三角形，則有a²＋b²＞c²，若△ABC為鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²＋b²＜c²．

【解析】

解：若△ABC為銳角三角形，則有a²＋b²＞c²，若△ABC為鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²＋b²＜c²．

證明：（1）當△ABC為銳角三角形時，過點A作AD⊥CB，垂足為D，設CD＝x，則有DB＝a－x．

根據(jù)勾股定理，得b²－x²＝c²－（a－x）²，即b²－x²＝c²－a²＋2ax－x²．

∴a²＋b²＝c²＋2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，

∴a²＋b²＞c²．

（2）當△ABC為鈍角三角形時，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，設CD＝x，則BD²＝a²－x²．根據(jù)勾股定理，得（b＋x）²＋（a²－x²）＝c²，∴a²＋b²＋2bx＝c²．

∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a²＋b²＜c²．

【難度】較難