Question

如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，并與軸交于另一點(diǎn)，其頂點(diǎn)為．

（1）求，的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)、，使以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解：(1)∵直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，

       ∴，.

又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，

∴解得

即，的值分別為，.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于直線 于點(diǎn).

在Rt中，，

在Rt中，.

∵，∴，∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，與不垂直.所以應(yīng)為正方形的對(duì)角線.

又對(duì)稱軸是的中垂線，所以，點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

此時(shí)，，且，

∴ 四邊形為正方形.

在Rt中，，即正方形的邊長(zhǎng)為.

 

六