Question

如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別與邊AD、相交于點(diǎn)E和F，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，菱形ABCD的周長(zhǎng)為32cm．
（1）求菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；
（2）求四邊形ABFE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出其邊長(zhǎng)，再利用菱形對(duì)角線平分每組對(duì)角，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)關(guān)系得出對(duì)角線的長(zhǎng)；
（2）利用中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得出EF平分菱形ABCD的面積，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∵菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
則∠ABO=30°，∠BAO=60°，
∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為32cm，
∴AB=BC=CD=AD=8cm，
∴AO=

1

2

AB=4cm，
BO=4

3

cm，
故AC=8cm，BD=8

3

cm；

（2）∵過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別與邊AD、相交于點(diǎn)E和F，
∴EF平分菱形ABCD的面積，
∴四邊形ABFE的面積為：

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×8×8

3

=32

3

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及菱形面積求法等知識(shí)，得出AO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．