Question

如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A，C到直線l的距離分別為1cm和2cm．
（1）求證：∠ABA′=∠BCC′；
（2）求BC′的長(zhǎng)；
（3）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）利用等角的余角相等，求證得出：∠ABA′=∠BCC′；
（2）求證得出△ABA′≌△BCC′即可，即BC′=AA′=1；
（3）利用（2）中，△ABA′≌△BCC′，BC′=AA′=1，A′B=CC′=2，進(jìn)一步利用勾股定理求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，最后求得面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵AA′⊥A′C′，CC′⊥A′C′，
∴∠AA′B=∠CC′B=90°，
∴∠ABA′+∠CBC′=90°，∠CBC′+∠BCC′=90°，
∴∠ABA′=∠BCC′；

（2）在△ABA′和△BCC′中，
∠AA′B=∠CC′B，
AB=BC，
∠ABA′=∠BCC′，
∴△ABA′≌△BCC′，
∴BC′=AA′=1；

（3）∵△ABA′≌△BCC′，
∴BC′=AA′=1，A′B=CC′=2，
∴AB=

12+22

=

5

，
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

5

；
正方形ABCD的面積=（

5

）²=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各邊相等的性質(zhì)，等角的余角相等，三角形全等和勾股定理的運(yùn)用．