【題目】四邊形為矩形,連接,,點(diǎn)在邊上.
(1)如圖①,若,,求的面積;
(2)如圖②,延長至點(diǎn),使得,連接并延長交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,求證:;
(3)如圖③,將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度()得到線段,連接,點(diǎn)始終為的中點(diǎn),連接.已知,直接寫出的取值范圍.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)30°的直角三角形求CD和ED,再利用面積公式求△AEC的面積;
(2)作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△AFM≌△ADH,得AM=AH,FM=DH,則△MAH是等腰直角三角形,有MH=AH,根據(jù)線段的和代入得結(jié)論;
(3)分別計(jì)算DN的最大值和最小值,連接AC和BD交于O,當(dāng)DN在BD上,可得DN的最大值和最小值.
解:(1)如圖1,在Rt△EDC中,
∵∠ECD=30°,
∴,,
∴DC=ECcos30°=4×=2,
∴AE=2DC-ED=4-2,
∴S△AEC=×AE×DC=(4-2)×2=12-2;
(2)如圖2,過A作AM⊥AH,交FG于M,
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°,
又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°,
∴∠FAM=∠DAH,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠FGD
∵DH⊥EG,
∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°,
∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°,
∴∠FGD=∠EDH,
∴∠F=∠EDH,
又∵AF=2CD,AD=2CD,
∴AF=AD,
∴△AFM≌△ADH,
∴AM=AH,FM=DH,
∴△MAH是等腰直角三角形,
∴MH=AH,
∵FH=MH+FM,
∴FH=AH+DH;
(3)∵線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<360°)得到線段AE′,
∴E'的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以點(diǎn)A為圓心半徑為4的圓,
連接AC,BD交于點(diǎn)O,
∵點(diǎn)O、N為AC、CE′的中點(diǎn),
∴ON=AE′=2,
∵CD=4,
∴BC=AD=2CD=8,
在Rt△BCD中,,
∴
∴如圖3,當(dāng)DN在對(duì)角線BD上時(shí),DN的長最小,DN=OD-ON=2-2,
此時(shí)DN的值最小是2-2;
當(dāng)α>180°時(shí),DN在BD上,如圖4,DN最長,
∴DN=OD+ON=2+2,
∵0°<α<360°,
∴2-2≤DN≤2+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0), B(0,),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到△1,△2,△3,△4,…,則△2019的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)(x>0)的圖象與直線l1:交于點(diǎn)A,與直線l2:x=k交于點(diǎn)B.直線l1與l2交于點(diǎn)C.
(1) 當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1時(shí),則此時(shí)k的值為 _______;
(2) 橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn). 記函數(shù)(x>0) 的圖像在點(diǎn)A、B之間的部分與線段AC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當(dāng)k=3時(shí),結(jié)合函數(shù)圖像,則區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是_________;
②若區(qū)域W內(nèi)恰有1個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出k的取值范圍:___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物的高度,如圖,建筑物前有一段坡度為的斜坡,小明同學(xué)站在斜坡上的點(diǎn)處,用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂的仰角為,接著小明又向下走了米,剛好到達(dá)坡底處,這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂的仰角為,、、、、、在同一平面內(nèi).若測(cè)角儀的高度米,則建筑物的高度約為( ).(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,,)
A.38.6B.39.0C.40.0D.41.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會(huì)》以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為基本宗旨,力求通過對(duì)詩詞知識(shí)的比拼及賞析,帶動(dòng)全民重溫那些曾經(jīng)學(xué)過的古詩詞,分享詩詞之美,感受詩詞之趣,從古人的智慧和情懷中汲取營養(yǎng),涵養(yǎng)心靈,自開播以來深受廣大師生的喜愛.某學(xué)校為了提高學(xué)生的詩詞水平,倡導(dǎo)全校3000名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)典詩詞誦背活動(dòng),并在活動(dòng)之后舉辦經(jīng)典詩詞大賽.為了解本次系列活動(dòng)的持續(xù)效果,學(xué)校團(tuán)委在活動(dòng)啟動(dòng)之初,隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查“一周詩詞誦背數(shù)量”,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成的條形和扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.
(整理、描述數(shù)據(jù)):
大賽結(jié)束后一個(gè)月,再次抽查這部分學(xué)生“一周詩詞誦背數(shù)量”:
一周詩詞背數(shù)量 | 3首 | 4首 | 5首 | 6首 | 7首 | 8首 |
人數(shù) | 16 | 24 | 32 | 78 | 35 |
(分析數(shù)據(jù)):
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
大賽之前 | 5 | ||
大賽之后 | 6 | 6 | 6 |
請(qǐng)根據(jù)調(diào)查的信息
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)計(jì)算 首, 首, 首,并估計(jì)大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩詞誦背6首(含6首)以上的人數(shù);
(3)根據(jù)調(diào)査的相關(guān)數(shù)據(jù),選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量評(píng)價(jià)該校經(jīng)典詩詞誦背系列活動(dòng)的效果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,點(diǎn)A表示小明家,點(diǎn)B表示學(xué)校.小明媽媽騎車帶著小明去學(xué)校,到達(dá)C處時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)書沒帶,于是媽媽立即騎車原路回家拿書后再追趕小明,同時(shí)小明步行去學(xué)校,到達(dá)學(xué)校后等待媽媽.假設(shè)拿書時(shí)間忽略不計(jì),小明和媽媽在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中分別保持勻速.媽媽從C處出發(fā)x分鐘時(shí)離C處的距離為y1米,小明離C處的距離為y2米,如圖②,折線O-D-E-F表示y1與x的函數(shù)圖像;折線O-G-F表示y2與x的函數(shù)圖像.
(1)小明的速度為 m/min,圖②中a的值為 .
(2)設(shè)媽媽從C處出發(fā)x分鐘時(shí)媽媽與小明之間的距離為y米.當(dāng)12≤x≤30時(shí),求出y與x的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+2x﹣2,若對(duì)滿足3<x<4的任意實(shí)數(shù)x都有y>0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店老板準(zhǔn)備購買A、B兩種型號(hào)的足球共100只,已知A型號(hào)足球進(jìn)價(jià)每只40元,B型號(hào)足球進(jìn)價(jià)每只60元.
(1)若該店老板共花費(fèi)了5200元,那么A、B型號(hào)足球各進(jìn)了多少只;
(2)若B型號(hào)足球數(shù)量不少于A型號(hào)足球數(shù)量的,那么進(jìn)多少只A型號(hào)足球,可以讓該老板所用的進(jìn)貨款最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(5,0)、B(-3,4),拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)OB、BD.求∠BDO的余切值;
(3)如果點(diǎn)P在線段BO的延長線上,且∠PAO =∠BAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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