Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（-3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）聯(lián)結(jié)OB、BD．求∠BDO的余切值；

（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO =∠BAO，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點P的坐標(biāo)為（，）.

【解析】

（1）根據(jù)點A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的表達式；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸，進而可得出點D的坐標(biāo)，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，由點B，D的坐標(biāo)可得出CD，BC的長度，結(jié)合余切的定義可求出∠BDO的余切值；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，則PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，結(jié)合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x軸，PQ⊥x軸可得出BC∥PQ，進而可得出4m＝﹣3n②，聯(lián)立①②可得出點P的坐標(biāo)．

解：（1）∵ 拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（-3，4），

∴

解得

∴ 所求拋物線的表達式為．

（2）由，得拋物線的對稱軸為直線．

∴ 點D（，0）．

過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．

由A（5，0）、B（-3，4），得 BC = 4，OC = 3，．

∴ ．

（3）設(shè)點P（m，n）．

過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．則 PQ = -n，OQ = m，AQ = 5 – m．

在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴ ．

∵ ∠PAO =∠BAO，∴ ．

即得 ． ①

由 BC⊥x軸，PQ⊥x軸，得 ∠BCO =∠PQA = 90°．

∴ BC // PQ．

∴ ，即得 ．∴ 4 m = - 3 n． ②

由 ①、②解得 ，．

∴ 點P的坐標(biāo)為（，）．