Question

如圖（1），△ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，由C向A方向運動，動點P邊BC上，由B向C運動，若這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度運動，連接AP，BD交于點Q，兩點運動過程中
（1）AP=BD；
（2）探究：如果把原題中“動點D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D，P在射線CA和射線BC上運動”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點運動過程中∠BQP的大小保持不變．請你利用圖（2）的情形，求證：∠BQP=60°；
（3）應用：如果把原題中“動點P在邊BC上，由B向C運動”改為“動點P在AB的延長線上由點B向F運動，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動點D，P在運動過程中，
①請猜想DE=線段

 

；
②根據(jù)上述猜想，加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠C=∠ABC=60°，即可證明△ABP≌△BCD，可得BD=AP；
（2）易證∠BAD=∠ACP=120°，即可證明△ABD≌△CAP，可得∠ABD=∠PAC，根據(jù)∠APC+∠PAC=∠ACB=60°即可求得∠BQP=60°；
（3）作DF∥AB，易證∠EDF=∠BPE和DF=BP，即可證明△DEF≌△PEB，可得DE=PE．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，
∵在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABC=∠C BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD，（SAS）
∴BD=AP；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠ACP=120°，
∵在△ABD和△CAP中，

AD=CP ∠BAD=∠ACP AB=AP

，
∴△ABD≌△CAP，（SAS）
∴∠ABD=∠PAC，
∵∠BQP=180°-∠APC-∠PBQ=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD，
∠APC+∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠BQP=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD=180°-∠CBA-∠ACB=60°；
（3）作DF∥AB，

∵DF∥AB，
∴△CDF是等邊三角形，∠EDF=∠BPE，
∴DF=CD，
∵CD=BP，
∴DF=BP，
∵在△DEF和△PEB中，

∠DEF=∠PBE ∠EDF=∠BPE DF=BP

，
∴△DEF≌△PEB，（AAS）
∴DE=PE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABP≌△BCD、△ABD≌△CAP和△DEF≌△PEB是解題的關(guān)鍵．