【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(10,0),以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點(diǎn)B是該半圓周上一動點(diǎn),連接OB、AB,并延長AB至點(diǎn)D,使DB=AB,過點(diǎn)D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F,點(diǎn)E為垂足,連接CF.
(1)當(dāng)∠AOB=30°時,求弧AB的長度;
(2)當(dāng)DE=8時,求線段EF的長;
(3)在點(diǎn)B運(yùn)動過程中,是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:連接BC,
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的長=
(2)解:①若D在第一象限,
連接OD,
∵OA是⊙C直徑,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE= = ,
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴ ,即 ,
∴EF=3;
②若D在第二象限,
連接OD,
∵OA是⊙C直徑,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE= = ,
∴AE=AO+OE=10+6=16,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴ ,即 = ,
∴EF=12;
∴EF=3或12;
(3)解:設(shè)OE=x,
①當(dāng)交點(diǎn)E在O,C之間時,由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角
形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,
當(dāng)∠ECF=∠BOA時,此時△OCF為等腰三角形,點(diǎn)E為OC
中點(diǎn),即OE= ,
∴E1( ,0);
當(dāng)∠ECF=∠OAB時,有CE=5﹣x,AE=10﹣x,
∴CF∥AB,有CF= ,
∵△ECF∽△EAD,
∴ ,即 ,解得: ,
∴E2( ,0);
②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
連接BE,
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,
∴ ,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,
∴ ,
而AD=2BE,
∴ ,
即 ,解得 <0(舍去),
∴E3( ,0);
③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
連接BE,得BE= =AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴ ,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,
∴ ,
而AD=2BE,
∴ ,
∴ ,
解得x1= ,x2= (舍去),
∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上,
∴E4( ,0),
綜上所述:存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,
此時點(diǎn)E坐標(biāo)為:E1( ,0)、E2( ,0)、E3( ,0)、E4( ,0).
【解析】(1)連接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC= AO=5,根據(jù)弧長公式求解;(2)連接OD,由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依題意證明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF;(3)存在.當(dāng)以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時,分為①當(dāng)交點(diǎn)E在O,C之間時,由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三種情況,分別求E點(diǎn)坐標(biāo).
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(1)列出關(guān)于x,y的二元一次方程;
(2)求該方程的所有整數(shù)解.
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【題目】某汽車行駛時油箱中余油量Q(L)與行駛時間t(h)的關(guān)系如表:
行駛時間t/h | 余油量Q/L |
1 | 42 |
2 | 34 |
3 | 26 |
4 | 18 |
5 | 10 |
(1)汽車行駛之前油箱中有汽油多少升?
(2)用行駛時間t的代數(shù)式表示余油量Q(直接寫出答案);
(3)當(dāng)t=時,求余油量Q的值.
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(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
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【題目】計算
(1)﹣ ﹣[(﹣3) ﹣2× ﹣8.5]÷(﹣ )
(2)× ﹣0.25×(﹣4)×(﹣3);
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(1)求摸到的球是白球的概率.
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,,,……,.
=1﹣=.
=1﹣=.
= .
(2)構(gòu)建模型
= .(n為正整數(shù))
(3)拓展應(yīng)用:
①= .
②= .
③一個數(shù)的八分之一,二十四分之一,四十八分之一,八十分之一的和比這個數(shù)的四分之一小1,求這個數(shù).
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A.r
B. ?r
C.2r
D. ?r
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