Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，P、Q兩點在分別到達B、C兩點時就停止移動，設兩點移動的時間為t秒，解答下列問題：

（1）如圖1，當t為幾秒時，△PBQ的面積等于4cm2？

（2）如圖2，以Q為圓心，PQ為半徑作⊙Q．在運動過程中，是否存在這樣的t值，使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1秒或4秒；（2）t＝0秒或(﹣15+)秒.

【解析】

（1）由題意可知PA＝t，BQ＝2t，從而得到PB＝5﹣t，BQ＝2t，然后根據(jù)△PQB的面積＝4cm2列方程求解即可；

（2）當t＝0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，此時圓Q與PD相切；當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時，由圓的性質可知QC＝QP，然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可；

解：（1）∵當運動時間為t秒時，PA＝t，BQ＝2t，

∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．

∵△PBQ的面積等于4cm2，

∴PBBQ＝（5﹣t）2t．

∴（5﹣t）2t＝4．

解得：t1＝1，t2＝4．

答：當t為1秒或4秒時，△PBQ的面積等于4cm2；

（2）由題意可知圓Q與PQ、CQ不相切．下面分兩種情況討論：

（Ⅰ）如圖1所示：當t＝0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合．

∵∠DAB＝90°，

∴∠DPQ＝90°．

∴DP⊥PQ．

∴DP為圓Q的切線．

（Ⅱ）當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時，如圖2所示．

由題意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．

在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．

解得：t1＝﹣15+，t2＝﹣15﹣（舍去）．

綜上所述可知當t＝0秒或t＝(﹣15+)秒時，⊙Q與四邊形DPQC的一邊相切．