【題目】綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境
在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師帶領(lǐng)同學(xué)們借助幾何畫(huà)板對(duì)以下題目進(jìn)行了研究.如圖1,
MN是過(guò)點(diǎn)A的直線,點(diǎn)C為直線MN外一點(diǎn),連接AC,作∠ACD=60°,使AC=DC,在MN上取一點(diǎn)B,使∠DBN=60°.
觀察發(fā)現(xiàn)
(1)根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù),猜想線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)希望小組認(rèn)真思考后提出一種證明方法:將CB所在的直線以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,與直線MN交于點(diǎn)E,即可證明(1)中的結(jié)論. 請(qǐng)你在圖1中作出線段CE,并根據(jù)此方法寫(xiě)出證明過(guò)程;
實(shí)踐探究
(3)奮進(jìn)小組在繼續(xù)探究的過(guò)程中,將點(diǎn)C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的位置時(shí),∠DBN=120°,線段AB、BD、CB的大小發(fā)生了變化,但是仍然滿足一定的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出這兩種關(guān)系:
在圖2中,線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;
在圖3中,線段AB、DB、CB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;
提出問(wèn)題
(4)智慧小組提出一個(gè)問(wèn)題:若圖3中BC⊥CD于點(diǎn)C時(shí),BC=2,則AC為多長(zhǎng)?請(qǐng)你解答此問(wèn)題.
【答案】(1)AB+DB=CB;(2)見(jiàn)解析;(3)AB-DB=CB;DB-AB=CB;(4)
【解析】
(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)直接猜想AB+DB=CB
(2)在射線AM上一點(diǎn)E,使得∠ECB=60°,證明△ACE≌△DCB,推出EB=CB從而得出(1)中的結(jié)論;
(3)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系以及全等三角形的性質(zhì)得出線段關(guān)系;
(4)過(guò)點(diǎn)C作∠BCE=60,邊CE與直線MN交于點(diǎn)E,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F.證明△ACE≌△DCB,得出BC=EC,結(jié)合△ECB為等邊三角形,得出∠ECA=90°,在Rt△AEC中根據(jù)邊長(zhǎng)計(jì)算出AC的長(zhǎng)度.
綜合與實(shí)踐
(1)AB+DB=CB
(2)線段CE如圖所示.
證明:∵∠ECB=∠ACD=60,
∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB,
∴∠2=∠1.
∵∠ACD=∠DBN=60, ∠ABD+∠DBN=180,
∴∠ABD+∠ACD=180,
∴在四邊形ACDB中,∠CAB+∠3=180.
∵∠CAB+∠4=180,
∴∠4=∠3.
又∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB(ASA)
∴EA=BD,EC=BC.
又∵∠ECB=60°,
∴△ECB為等邊三角形,
∴EB=CB.
而EB=EA+AB=DB+AB,
∴CB=DB+AB.
(3) AB-DB=CB;DB-AB=CB;
(4)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)C作∠BCE=60,邊CE與直線MN交于點(diǎn)E,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F.
∵∠DCA=60
∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA
即∠ECA=∠BCD
∵∠DBN=120
∴∠DBA=60
又∵∠AFB=∠DFC
∴∠EAF=∠BDC
又∵AC=DC
∴△ACE≌△DCB(ASA)
∴BC=EC
∴△ECB為等邊三角形
∴∠CEB=60
∵BC⊥CD
∴∠ECA=∠BCD=90
∴在Rt△AEC中,∠CAE=30
∵BC=2,EC=BC
∴AC=EC·tan60=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)品牌對(duì)第一季度A、B兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售量及總銷售額如圖10所示:
(1)一月份B款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售量是A款的,則一月份B款運(yùn)動(dòng)鞋銷售了多少雙?
(2)第一季度這兩款運(yùn)動(dòng)鞋的銷售單價(jià)保持不變,求三月份的總銷售額(銷售額=銷售單價(jià)×銷售量);
(3)結(jié)合第一季度的銷售情況,請(qǐng)你對(duì)這兩款運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)貨、銷售等方面提出一條建議。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月國(guó)際風(fēng)箏節(jié)期間,王大伯決定銷售一批風(fēng)箏,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研:蝙蝠型風(fēng)箏進(jìn)價(jià)每個(gè)為10元,當(dāng)售價(jià)每個(gè)為12元時(shí),銷售量為180個(gè),若售價(jià)每提高1元,銷售量就會(huì)減少10個(gè),請(qǐng)回答以下問(wèn)題:
(1)用表達(dá)式表示蝙蝠型風(fēng)箏銷售量y(個(gè))與售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系(12≤x≤30);
(2)王大伯為了讓利給顧客,并同時(shí)獲得840元利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為多少?
(3)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí),王大伯獲得利潤(rùn)W最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“早黑寶”葡萄品種是我省農(nóng)科院研制的優(yōu)質(zhì)新品種,在我省被廣泛種植,鄧州市某葡萄種植基地2017年種植“早黑寶”100畝,到2019年“卓黑寶”的種植面積達(dá)到196畝.
(1)求該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長(zhǎng)率;
(2)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)“早黑寶”的售價(jià)為20元/千克時(shí),每天能售出200千克,售價(jià)每降價(jià)1元,每天可多售出50千克,為了推廣宣傳,基地決定降價(jià)促銷,同時(shí)減少庫(kù)存,已知該基地“早黑寶”的平均成本價(jià)為12元/千克,若使銷售“早黑寶”每天獲利1750元,則售價(jià)應(yīng)降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O 上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DE,AD⊥DE于點(diǎn)D,DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接AC.
(1)求證:AC平分∠DAE;
(2)若⊙O的半徑為2,∠CAB=35°,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),勻速行駛.設(shè)行駛的時(shí)間為x(時(shí)),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系.已知兩車相遇時(shí)快車比慢車多行駛60千米.若快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為t時(shí),則此時(shí)慢車與甲地相距_____千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P.連接AC.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為E,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接FA、FC.求AF+CF的最小值;
(3)如圖3,點(diǎn)M為線段OA上一點(diǎn),以OM為邊在第一象限內(nèi)作正方形OMNG,當(dāng)正方形OMNG的頂點(diǎn)N恰好落在線段AC上時(shí),將正方形OMNG沿x軸向右平移,記平移中的正方形OMNG為正方形O′MNG,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)停止平移.設(shè)平移的距離為t,正方形O′MNG的邊MN與AC交于點(diǎn)R,連接O′P、O′R、PR,是否存在t的值,使△O′PR為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃用96米的竹籬笆圍成如圖所示的①、②、③三個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域,其中區(qū)域①是正方形,區(qū)域②和③是矩形,且AG∶BG=3∶2.設(shè)BG的長(zhǎng)為2x米.
(1)用含x的代數(shù)式表示DF= ;
(2)x為何值時(shí),區(qū)域③的面積為180平方米;
(3)x為何值時(shí),區(qū)域③的面積最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AC與⊙O相切于點(diǎn)A,點(diǎn)B為⊙O上一點(diǎn),且OC⊥OB于點(diǎn)O,連接AB交OC于點(diǎn)D.
(1)求證:AC=CD;
(2)若AC=3,OB=4,求OD的長(zhǎng)度.
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