Question

在等邊△ABC中，AB=8，點D在邊BC上，△ADE為等邊三角形，且點E與點D在直線AC的兩側(cè)，過點E作EF∥BC，EF與AB、AC分別相交于點F、G．
（1）如圖，求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）設(shè)BD=x，F(xiàn)G=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）如果AD的長為7時，求線段FG的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）由三角形ABC與三角形ADE都為等邊三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，進(jìn)而確定出同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到CE與FB平行，再由EF與BC平行，即可得到四邊形BCEF為平行四邊形；
（2）由三角形ABD與三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四邊形BCEF為平行四邊形得到BF=CE，等量代換得到BF=BD=x，由FG與BC平行，由平行得比例，即可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出x的范圍得到定義域；
（3）過A作AM⊥BC交BC于M，可得M為BC的中點，即BM=CM=4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的長，而MD=4-x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即為FG的長．

解答：（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACE=180°，即∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CE，
又∵EF∥BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴EC=BD，
∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BF=EC，
∴BF=BD=x，
又∵AB=8，
∴AF=8-x，
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
∴△AFG∽△ABC，
∴

AF

AB

=

FG

BC

，即

8-x

8

=

y

8

，
∴y=8-x（0＜x＜8）；
（3）解：過A作AM⊥BC交BC于M，可得M為BC的中點，即BM=CM=4，
在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=4

3

，MD=4-x，
由題意得AD²=AM²+MD²，即48+（4-x）²=49，
解得：x₁=3，x₂=5，
當(dāng)x=3時，y=8-3=5；當(dāng)x=5時，y=8-5=3，
則FG=3或5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．