【題目】問題提出

1)如圖(1),已知中,,,求點(diǎn)的最短距離.

問題探究

2)如圖(2),已知邊長為3的正方形,點(diǎn)分別在邊上,且,,連接、,若點(diǎn)、分別為、上的動(dòng)點(diǎn),連接,求線段長度的最小值.

問題解決

3)如圖(3),已知在四邊形中,,,,連接,將線段沿方向平移至,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,連接的長度是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】12;(2;(3

【解析】

1)如圖1中,作AHBCH.設(shè)AH=CH=x,根據(jù),構(gòu)建方程即可解決問題.
2)如圖2中,作EJDFJ.利用相似三角形的性質(zhì)求出EJ,再根據(jù)垂線段最短即可解決問題.
3)如圖3中,如圖3中,記MN的中垂線與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O,連接OM,ONOB,OD,并以點(diǎn)O為圓心,OM為半徑長作⊙O.以點(diǎn)O為圓心,OM為半徑作圓,當(dāng)⊙OCD相切于 N時(shí),即此時(shí)⊙O也與ABBC相切,切點(diǎn)分別為M,G,此時(shí)MN最。B接OG.設(shè)ACBDJ,作ATBCT.利用相似三角形的性質(zhì)求出MN即可.

解:(1)如圖1中,作AHBCH

RtACH中,∵∠C=45°,∠AHC=90°
AH=CH,設(shè)AH=CH=x
RtABH中,∵∠AHB=90°,∠B=30°,
BH=

x=2,即AH=2,
∴點(diǎn)ABC的最短距離為2

2)如圖2中,作EJDFJ,

∵四邊形ABCD是正方形,
AB=BC=CD=AD=3
,,
AE=CF=1,DE=BF=2,

DF=,
DEBF
∴四邊形BEDF是平行四邊形,
BEDF
EJDF,
∴∠EJD=EDC=C=90°,
∴∠EDJ+∠CDF=90°,∠CDF+∠CFD=90°,
∴∠EDJ=CFD
∴△EDJ∽△DFC,

根據(jù)垂線段最短可知,MN的最小值為=;

3)如圖3中,記MN的中垂線與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O,連接OM,ON,OB,OD,并以點(diǎn)O為圓心,OM為半徑長作⊙O.以點(diǎn)O為圓心,OM為半徑作圓,當(dāng)⊙OCD相切于 N時(shí),即此時(shí)⊙O也與AB,BC相切,切點(diǎn)分別為M,G,此時(shí)MN最小.連接OG.設(shè)ACBDJ,作ATBCT

RtABT中,∵∠ATB=90°,AB=3,∠ABT=60°,
BT=AT=,

CT=BCBT=,

,

AB=ADCB=CD,
ACBDBJ=DJ,


,
OM=OG,OMABOGBC,
OB平分∠ABC,
∴∠OBM=
OB=2OM,
OB=OD,OM=ON,BM=DN
∴△OMB≌△ONDSSS),
∴∠BOM=NOD,
∴∠MON=BOD
OM=ON,OB=OD,
∴△MON∽△BOD

,

,

MN的最小值為:

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