Question

閱讀下面材料：
小炎遇到這樣一個問題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結EF，則EF=BE+DF，試說明理由．
小炎是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段相對集中．她先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，最后發(fā)現線段AB，AD是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法．她的方法是將△ABE繞著點A逆時針旋轉90°得到△ADG，再利用全等的知識解決了這個問題（如圖2）．
參考小炎同學思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足

 

關系時，仍有EF=BE+DF；
（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D=180°時，得出EF=BE+DF，
（2）把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合．通過證明△AEG≌△AED得到：DE=EG．結合
CG=BD，利用勾股定理推知BD²+EC²=DE²．則易求DE=

5

．

解答：解：（1）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
如圖，

∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，

AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF

，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
        
（2）如圖，

∵AB=AC，
∴把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合．
∠B=∠ACG，
BD=CG，
AD=AG 
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°．
即∠ECG=90°．
∴EC²+CG²=EG²．
在△AEG與△AED中，
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED． 
∴DE=EG．
又∵CG=BD，
∴BD²+EC²=DE²．
∴DE=

5

．

點評：此題主要考查了正方形的性質，基本幾何變換，關鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，注意理解解題的思路，把方法進一步推廣得出結論．