Question

如圖，在等邊三角形ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，試說明BE=EF=FC．

Answer 1

證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠OEF=∠ABC=60°，∠OFE=∠ACF=60°，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠EOF=60°，
∴△OEF為等邊三角形，
∴OE=OF=EF，
∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，
∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，
∴OE=BE，OF=CF，
∴BE=EF=FC．
分析：由題可證△OEF為等邊三角形，從而得到∠EOF=60°，OE=OF=EF．又因為BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，所以∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF．所以O(shè)E∥AB，OF∥AC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，即∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF．根據(jù)等角對等邊得OE=BE，OF=CF，所以BE=EF=FC．
點評：本題利用了等邊三角形的性質(zhì)和判定，兩直線平行的性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定．