Question

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點E，且AE=2，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒．
（1）求線段AD的長度；
（2）t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與DE相切？
（3）請你直接寫出t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相交，所截得的弦長為

3

？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB，AE=2，可求得∠ADE=30°，繼而可求得線段AD的長度；
（2）由在菱形ABCD中，∠BAD=60°，易求得∠1=∠2=∠3=∠4=30°，AD=DC=CB=BA=4，然后分別從①點P在AD上與AC相切時，②點P在DC上與AC相切時，③點P在BC上與AC相切時，④點P在AB上與AC相切時，去分析求解即可求得答案；
（3）首先分析可得當⊙P過點A與C時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相交，所截得的弦長為

3

，然后分別從點P在AD，DC，CB，BA上去分析求解，繼而可求得答案．

解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB，AE=2，
∴∠ADE=90°-∠BAD=30°，
∴AD=2AE=4；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，AD=DC=CB=BA=4，
如圖所示：
①點P在AD上與AC相切時，
連接P₁F，則P₁F⊥AC，P₁F=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2；
②點P在DC上與AC相切時，CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6；
③點P在BC上與AC相切時，CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10；
④點P在AB上與AC相切時，AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

（3）如圖2，⊙P過點A與點C，
過點P作PN⊥AC于點N，
∵PA=1，∠DAC=30°，
∴PN=

1

2

PA=

1

2

，
∴AN=

PA2-PN2

=

3

2

，
∴AM=2AN=

3

，
∴當⊙P過點A與C時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相交，所截得的弦長為

3

，
①當點P在AD上時，AP₁=1，
即t₁=1；
②當點P在DC上時，CP₂=1，
即t₂=AD+DC-CP₂=4+4-1=7；
③當點P在CB上時，CP₃=1，
即t₃=AD+DC+CP₃=4+4+1=9；
④當點P在BA上時，AP₄=1，
即t₄=AD+DC+BC+AB-AP₄=4+4+4+4-1=15；
∴當t=1、7、9、15時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相交，所截得的弦長為

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用．