Question

如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′．
（1）求點(diǎn)D′剛好落在對角線AC上時，線段D′C的長；
（2）求點(diǎn)D′剛好落在線段BC的垂直平分線上時，DE的長；
（3）求點(diǎn)D′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）如圖1，求出AC的長度，即可解決問題．
（2）如圖2，證明D′D=AD′=AD，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用勾股定理即可解決問題．
（3）如圖3或4，類比（2）中的解法，借助勾股定理，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=5，由勾股定理求得AC=

89

；
∵點(diǎn)A、D′、C在同一直線上，
∴D′C=AC-AD′=AC-AD=

89

-5．
（2）如圖2，連接D′D，
∵點(diǎn)D′在BC的垂直平分線上，
∴點(diǎn)D′在AD的垂直平分線上，
∴D′D=AD′=AD；
設(shè)DE為x，易得AE=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=5²，
∴x=

5

3

3

．
（3）分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)D′在矩形內(nèi)部時，如圖3，連接D′B，
∵點(diǎn)D′在AB的垂直平分線上，
∴AN=4；
∵AD′=5，由勾股定理得D′N=3，
∴D′M=2；設(shè)DE為y，
∴EM=4-y，D′E=y；
在△EMD′中，由勾股定理得：y²=（4-y）²+2²，
∴y=

5

2

，即DE的長為

5

2

．
②當(dāng)點(diǎn)D′在矩形外部時，如圖4，連接D′B，
同①的方法可得D′N=3，
∴D′M=8，設(shè)DE為z，
∴EM=z-4，D′E=z，
在△EMD′中，由勾股定理得：z²=（z-4）²+8²，
∴z=10，即DE的長為10．
綜上所述，點(diǎn)D′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，DE的長為

5

2

或10

點(diǎn)評：該題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．