Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于和，與軸交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線：與軸相交于點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)，且滿足時，求直線的解析式；

（3）點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；（2）直線的解析式為或；（3）存在，符合題意的點(diǎn)有3個：，，

【解析】

（1把和代入中得到一個關(guān)于a,b的二元一次方程組，把這個方程組解出來即可；

（2）分兩種情況討論進(jìn)行計算即可；

（3）分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)列方程求解即可.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，

∴解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的異側(cè)時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線：過點(diǎn)和點(diǎn)

∴解得：

∴直線的解析式為

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的同側(cè)時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線：過點(diǎn)和點(diǎn)

∴解得：

∴直線的解析式為

綜上所述：直線的解析式為或．

（3）存在，符合題意的點(diǎn)有3個它們分別是：，，.

設(shè)P的坐標(biāo)為P(x, ),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，y）

當(dāng)BP∥CQ時，則,解得x=1，

∴=

∴.

當(dāng)BP∥QC時，則,解得x=5，

∴=

∴，

③當(dāng)BC∥PQ時，則 ，解得x=-1，

∴=

∴.

綜上所述，點(diǎn)有3個它們分別是：，，.

【點(diǎn)晴】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，合理利用數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.