Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．

(1)求證：AE⊥BF；

(2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；

(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的邊長為4時，直接寫出四邊形GHMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）運(yùn)用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°求證；

（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QP求解；

（3）先求出正方形的邊長，再根據(jù)面積比等于相似邊長比的平方，求得S△AGN=，再利用S四邊形GHMN=S△AHM-S△AGN求解．

試題解析：(1)∵E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，

∴CF=BE，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF ∴∠BAE=∠CBF

又∵∠BAE+∠BEA=900，∴∠CBF+∠BEA=900，

∴∠BGE=900， ∴AE⊥BF

(2)根據(jù)題意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=900，

∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB

令PF=k（k>O），則PB=2k，

在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x， ∴x2=(x－k)2+4k2, ∴x=k，

∴sin∠BQP=

(3) 四邊形GHMN的面積是.