Question

圖1中的中國(guó)結(jié)掛件是由四個(gè)相同的菱形在頂點(diǎn)處依次串聯(lián)而成，每相鄰兩個(gè)菱形均成30°的夾角，示意圖如圖2．在圖2中，每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為10cm，銳角為60°．
（1）連接CD，EB，猜想它們的位置關(guān)系并加以證明；
（2）求A，B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果取整數(shù)，可以使用計(jì)算器）
（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.41，

3

≈1.73，

6

≈2.45）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）連接DE．根據(jù)菱形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠CDE=∠BED=90°，再根據(jù)平行線的判定可得CD，EB的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BE，DE，再根據(jù)三角函數(shù)可得BD，AD，根據(jù)AB=BD+AD，即可求解．

解答：解：（1）猜想CD∥EB．
證明：連接DE．
∵中國(guó)結(jié)掛件是四個(gè)相同的菱形，每相鄰兩個(gè)菱形均成30°的夾角，菱形的銳角為60°
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠CDE=∠BED，
∴CD∥EB．

（2）如圖2，連接AD、BD．
由（1）知，∠BED=90°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
同理，∠ADC=45°
又由（1）知，∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°，
∴點(diǎn)A、D、B三點(diǎn)共線．
BE=2OE=2×10×cos30°=10

3

cm，
同理可得，DE=10

3

cm，
則BD=10

6

cm，
同理可得，AD=10

6

cm，
AB=BD+AD=20

6

≈49cm．
答：A，B兩點(diǎn)之間的距離大約為49cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)和平行線的判定，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．