Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線l：x=1，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)M都在直線l上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，直線EA與直線OF交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣1），

①當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，如圖，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)F為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，記點(diǎn)P（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

（Ⅱ）若點(diǎn)M（1，m），點(diǎn)F（1，t），其中t≠0，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，當(dāng)OQ=PQ時(shí)，試用含t的式子表示m．

Answer 1

解：（Ⅰ）①∵點(diǎn)O（0，0），F(xiàn)（1，1），

∴直線OF的解析式為y=x．

設(shè)直線EA的解析式為：y=kx+b（k≠0）、

∵點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，﹣1）對(duì)稱，

∴E（1，﹣3）．

又A（2，0），點(diǎn)E在直線EA上，

∴，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=3x﹣6．

∵點(diǎn)P是直線OF與直線EA的交點(diǎn)，則，

解得 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，3）．

②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t）．

∴直線OF的解析式為y=tx．

設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d（c、d是常數(shù)，且c≠0）．

由點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，﹣1）對(duì)稱，得點(diǎn)E（1，﹣2﹣t）．

又點(diǎn)A、E在直線EA上，

∴，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=（2+t）x﹣2（2+t）．

∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，

∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．

則有 y=tx=（x﹣2）x=x²﹣2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直線OF的解析式為y=tx．

直線EA的解析式為y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．

∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，

∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），

化簡(jiǎn)，得 x=2﹣．

有 y=tx=2t﹣．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2﹣，2t﹣）．

∵PQ⊥l于點(diǎn)Q，得點(diǎn)Q（1，2t﹣），

∴OQ²=1+t²（2﹣）²，PQ²=（1﹣）²，

∵OQ=PQ，

∴1+t²（2﹣）²=（1﹣）²，

化簡(jiǎn)，得 t（t﹣2m）（t²﹣2mt﹣1）=0．

又∵t≠0，

∴t﹣2m=0或t²﹣2mt﹣1=0，

解得 m=或m=．

則m=或m=即為所求．