Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上．若以BC為邊，以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（﹣，），（﹣，）．

【解析】

解方程x2﹣x﹣2=0得A（-1，0），B（4，0），易得C（0，-2），拋物線對稱軸為直線x= ，討論：當(dāng)BC為邊時(shí)，四邊形BCQ1P1為平行四邊形，利用平移得到P1點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，則計(jì)算x=時(shí)的二次函數(shù)值得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BC為邊時(shí)，四邊形BCP2Q2為平行四邊形，利用平移得到P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則計(jì)算x=-時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值得到此時(shí)P2點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BC為對角線時(shí)，四邊形BQ3CP3為平行四邊形，利用平移得到P3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后計(jì)算x=對應(yīng)的函數(shù)值得到此時(shí)P3點(diǎn)坐標(biāo)．

令y＝0，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，則C（0，﹣2），

∴拋物線對稱軸為直線x＝，

當(dāng)BC為邊時(shí)，四邊形BCQ1P1為平行四邊形，C點(diǎn)向右平移單位得到Q1點(diǎn)，則B點(diǎn)向右平移單位得到P1點(diǎn)，則P1點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝×（）2﹣×﹣2＝，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

當(dāng)BC為邊時(shí)，四邊形BCP2Q2為平行四邊形，B點(diǎn)向左平移單位得到Q2點(diǎn)，則B點(diǎn)向左平移單位得到P2點(diǎn)，則P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝×（﹣）2﹣×（﹣）﹣2＝，此時(shí)P2點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）；

當(dāng)BC為對角線時(shí)，四邊形BQ3CP3為平行四邊形，Q3點(diǎn)向左平移單位得到C點(diǎn)，則B點(diǎn)向左平移單位得到P3點(diǎn)，則P3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝×（）2﹣×﹣2＝，此時(shí)P3點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（﹣，），（﹣，）．