Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，射線BP交DE于點(diǎn)K，點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn)．

（1）求證：△ADP≌△ECP；

（2）若BP=nPK，試求出n的值；

（3）作BM丄AE于點(diǎn)M，作KN丄AE于點(diǎn)N，連結(jié)MO、NO，如圖2所示，請(qǐng)證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）3；（3）證明見(jiàn)試題解析，120°．

【解析】

試題（1）由菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，根據(jù)由平行線的性質(zhì)得到∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，根據(jù)全等三角形的判定定理證明結(jié)論；

（2）作PI∥CE交DE于I，由點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)證明CE=2PI，BE=4PI，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（3）作OG⊥AE于G，由平行線等分線段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，可證明△MON是等腰三角形，由直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠MON的度數(shù)．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，∵∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，DP=CP，∴△ADP≌△ECP；

（2）如圖1，作PI∥CE交DE于I，則，又點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，∴，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴，∴BP=3PK，∴n=3；

（3）如圖2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于，KN丄AE，∴BM∥OG∥KN，∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn)，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，設(shè)BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP=，則AP=，根據(jù)三角形面積公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG=，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度數(shù)為120°．