【題目】ABC內(nèi)接于⊙OAB=ACBDAC,垂足為點D,交⊙O于點E,連接AE


1)如圖1,求證:∠BAC=2CAE;
2)如圖2,射線AO交線段BD于點F,交BC邊于點G,連接CE,求證:BF=CE
3)如圖3,在(2)的條件下,連接CO并延長,交線段BD于點H,交⊙O于點M,連接FM,交AB邊于點N,若BH=DH,四邊形BHOG的面積為5,求線段MN的長.

【答案】1)見詳解;(2)見詳解;(3

【解析】

1)先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理證明∠BAC+2C=180°,然后得到2CAE+2E=180°,然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠E=C,即可得到結(jié)論;
2)連接OBOC.先依據(jù)SSS證明ABO≌△ACO,從而得到∠BAO=CAO,然后在依據(jù)ASA證明ABF≌△ACE,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明BF=CE;
3)連接HGBM.由三線合一的性質(zhì)證明BG=CG,從而得到HGBCD的中位線,則∠FHO=AFD=HFO,于是可得到HO=OF,然后得到∠OGH=OHG,從而得到OH=OG,則OF=OG,接下來證明四邊形MFGB是矩形,然后由MFBC證明MFH∽△CBH,從而可證明HF=FD.接下來再證明ADF≌△GHF,由全等三角形的性質(zhì)的到AF=FG,然后再證明MNB≌△NAF,于是得到MN=NF.設(shè)SOHF=SOHG=a,則SFHG=2a,SBHG=4a,然后由S四邊形BHOG=5,可求得a=,設(shè)HF=x,則BH=2x,然后證明GFH∽△BFG,由相似三角形的性質(zhì)可得到HG=x,然后依據(jù)SBHG=BHHG=4,可求得x=2,故此可得到HBGH的長,然后依據(jù)勾股定理可求得BG的長,于是容易求得MN的長.

解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=ACB
∴∠BAC+2C=180°
BDAC,
∴∠ADE=90°
∴∠E+CAE=90°
2CAE+2E=180°
∵∠E=ACB,
2CAE+2ACB=180°
∴∠BAC=2CAE
2)連接OBOC

AB=AC,AO=AO,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO
∴∠BAO=CAO
∵∠BAC=2CAE
∴∠BAO=CAE
△ABF△ACE中,


∴△ABF≌△ACE
BF=CE
3)連接HG、BM

AB=AC,∠BAO=CAO,
AGBC,BG=CG
BH=DH,
HG△BCD的中位線.
HGCD
∴∠GHF=CDE=90°
OA=OC
∴∠OAC=OCA
∵∠OAC+AFD=90°,∠OCA+FHO=90°
∴∠FHO=AFD=HFO
HO=OF
∵∠HFO+OGH=90°,∠OHF+OH=90°,
∴∠OGH=OHG
OH=OG
OF=OG
OM=OC
∴四邊形MFCG是平行四邊形.
又∵MC是圓O的直徑,
∴∠CBM=90°
∴四邊形MFGB是矩形.
MB=FG,∠FMB=AFN=90°
MFBC,
∴△MFH∽△CBH

HFHD=12
HF=FD
△ADF△GHF中,

,
∴△ADF≌△GHF
AF=FG
MB=AF
△MNB△NAF中,

,

∴△MNB≌△NAF

MN=NF
設(shè)SOHF=SOHG=a,則SFHG=2aSBHG=4a,
S四邊形BHOG=5a=5
a=
設(shè)HF=x,則BH=2x
∵∠HHG=GFB,∠GHF=FGB,
∴△GFH∽△BFG
,即
HG=
SBHG=BHHG=×2x=4,

解得:x=2
HB=4,GH=2
由勾股定理可知:BG=2
MF=2
MN=NF=

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②設(shè)應(yīng)季銷售利潤為元,請寫的函數(shù)關(guān)系式;并求出應(yīng)季銷售利潤為8000元時每件恤的售價.

2)根據(jù)銷售經(jīng)驗,過季處理時,若每件恤的售價定為30元虧本銷售,可售出50件;若每件恤的售價每降低1元,銷售量相應(yīng)增加5條.

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②若過季需要處理的恤共件,且,季虧損金額最小是 元(用含的代數(shù)式表示).

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1)本次共抽取了   名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查;

2x   y   ,補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

3)若這幾所中學(xué)八年級的學(xué)生共有3200人,請估計做作業(yè)時間在2小時以上的學(xué)生人數(shù)是多少?

4)由圖表可知,這次被調(diào)查的八年級學(xué)生的作業(yè)時間的中位數(shù)一定落在1.5小時﹣2小時這一時段內(nèi),你認(rèn)為這種判斷正確嗎?(不需要說明理由)

寫作業(yè)時間

頻數(shù)

頻率

1小時以內(nèi)

12

0.1

11.5

x

0.15

1.52

30

0.25

2小時以上

60

y

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兩城/兩鄉(xiāng)

C/(/)

D/(/)

20

24

15

17

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