Question

已知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2，
（1）求證：無論a取什么實數(shù)，二次函數(shù)的圖象都與x軸相交于兩個不同的點；
（2）求a為何值時，使得二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點之間的距離最�。�
（3）若方程x²+ax+a-2=0的兩根都大于-2小于2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，求出△的值，若為正數(shù)，則此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．
（2）設(shè)出二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點橫坐標，根據(jù)|x₁-x₂|=

△

，把第一問表示出的根的判別式代入，根據(jù)完全平方式的最小值為0，得到兩交點距離的最小值．
（3）根據(jù)方程x²+ax+a-2=0的兩根都大于-2小于2可知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2的圖象x=-2、x=2時，y＞0，再結(jié)合函數(shù)圖象頂點的橫坐標即可可求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：令y=0，得x²+ax+a-2=0
∵△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
∴不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．


（2）解：設(shè)二次函數(shù)圖象與x軸兩交點的橫坐標分別為x₁，x₂，
∵y=x²+ax+a-2是二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)與x軸兩交點的距離|x₁-x₂|=

△

=

(a-2)2+4

，
當且僅當a-2=0，即a=2時，|x₁-x₂|有最小值．

（3）解：根據(jù)二次函數(shù)y=y=x²+ax+a-2的圖象和題設(shè)條件知：
當x=-2時，x²+ax+a-2＞0，有a＜2；①
當x=2時，x²+ax+a-2＞0，有a＞-

2

3

．②
因拋物線頂點的橫坐標-

a

2

滿足-2＜-

a

2

＜2，
則-4＜a＜4．③
所以a的取值范圍為-

2

3

＜a＜2．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點及根的判別式，解答此類題目的關(guān)鍵是把二次函數(shù)的圖象與一元二次方程根的情況結(jié)合起來，利用數(shù)形結(jié)合解答．