Question

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，直線NM過點C，BP⊥MN于P，AQ⊥MN于Q，BP=3，AQ=4，求PQ的長．

Answer 1

解：有兩種情況：
①當(dāng)直線MN與△ABC相交，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，
∴AC=BC，
又BP⊥MN于P，AQ⊥MN于Q，
∴∠ACQ+∠BCP=∠BCP+∠CBP=90°，∠AQC=∠CPB=90°
∴∠ACQ=∠CBP，
∴△ACQ≌△CBP，
∴BP=CQ，AQ=CP，
∴PQ=PC-CQ，
而BP=3，AQ=4，
∴PQ=1；
②當(dāng)直線MN與△ABC不相交，如右圖，根據(jù)①得到
△ACQ≌△CBP，
∴BP=CQ，AQ=CP，
∴PQ=PC+CQ，
而BP=3，AQ=4，
∴PQ=7．
分析：首先根據(jù)題目的已知條件可以證明△ACQ≌△CBP，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到BP=CQ，AQ=CP然后結(jié)合圖形即可求出PQ的長．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．