Question

如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）連結(jié)MN，△BMN是等邊三角形嗎？為什么？
（2）求證：△AMB≌△ENB；
（3）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最��；
②如圖②，當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BM=BN，∠MBN=60°，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=EB，BM=BN，∠ABE=∠MBN=60°，再求出∠ABM=∠EBN，然后利用“邊角邊”證明△AMB和△ENB全等即可；
（3）①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，AM+CM的值最小，再根據(jù)正方形的性質(zhì)解答；
②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=EN，然后求出AM+BM+CM=EN+MN+CM，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短證明．

解答：（1）解：△BMN是等邊三角形．
理由如下：如圖①，∵BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BMN是等邊三角形；

（2）證明：∵△ABE和△BMN都是等邊三角形，
∴AB=EB，BM=BN，∠ABE=∠MBN=60°，
∴∠ABE-∠ABN=∠MBN-∠ABN，
即∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，

AB=EB ∠ABM=∠EBN BM=BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（3）①由兩點(diǎn)之間線段最短可知A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，AM+CM的值最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)；
②當(dāng)點(diǎn)M在CE與BD的交點(diǎn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如圖②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)E、N、M、C在同一直線上時(shí)，EN+MN+CM，
故，點(diǎn)M在CE與BD的交點(diǎn)時(shí)，AM+BM+CM的值最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，（3）從兩點(diǎn)之間線段最短考慮求解是解題的關(guān)鍵．