Question

如圖①，已知正方形ABDE和正方形AGFC中，點(diǎn)B、A、C在一條直線上，點(diǎn)G在邊AE上，連接BG、EC．
（1）求證：BG=EC，BG⊥EC．
（2）當(dāng)正方形AGFC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到B、A、C三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)（如圖②、圖③），線段BG、EC又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=EC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABG=∠AEC，設(shè)BG的延長線交EC于H，然后求出∠ABG+∠ACE=90°，從而得到∠BHC=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）結(jié)論仍然成立．圖②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，再求出∠BAG=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=EC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABG=∠AEC，設(shè)BG的延長線交EC于H，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BHE=∠BAE=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；圖③證明方法與圖②相同．

解答：（1）證明：在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAE=∠GAC=90° AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
設(shè)BG的延長線交EC于H，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABG+∠ACE=90°，
∴∠BHC=180°-90°=90°，
∴BG⊥EC；

（2）BG=EC，BG⊥EC．
證明：圖②，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE-∠EAG=∠GAC-∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
設(shè)BG的延長線交EC于H，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC；

圖③，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
設(shè)BG的延長線交EC于H，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并根據(jù)正方形的性質(zhì)找出全等的條件是解題的關(guān)鍵，此類題目，各小題的求解思路相同是解題的突破點(diǎn)．