Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，四邊形APQC的面積為ycm²．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（2）①求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
②當(dāng)t為何值時(shí)，y取得最小值？最小值為多少？
（3）設(shè)PQ的長(zhǎng)為xcm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,二次函數(shù)的最值,勾股定理,等腰直角三角形

專題：綜合題

分析：（1）由于Rt△PBQ的直角不確定，需分∠BPQ=90°和∠BQP=90°兩種情況討論．由于∠B=45°，因此斜邊是直角邊的

2

倍，由此建立關(guān)于t的等量關(guān)系，就可解決問(wèn)題．
（2）①過(guò)P作PH⊥BC，垂足為H，只需用t的代數(shù)式表示BQ和PH的長(zhǎng)，就可得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件容易得到t的取值范圍；②根據(jù)二次函數(shù)的最值即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)P作PH⊥BC，垂足為H，在Rt△PHQ中，根據(jù)勾股定理得到x與t之間的關(guān)系，代入y與t的函數(shù)關(guān)系式，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題可得：∠A=90°，AB=BC=4，∠B=45°，BQ=AP=t，BP=4-t．
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，如圖1，

∵∠B=45°，
∴BQ=PQ．
∴BP=

BQ2+PQ2

=

2

BQ．
∴

2

t=4-t．
解得：t=

4

2 +1

=4

2

-4．
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，如圖2，

同理可得：BQ=

2

BP，∴

2

(4-t)=t
解得：t=

4 2

2 +1

=8-4

2

．
綜上所述；當(dāng)t為（4

2

-4）秒或（8-4

2

）秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．

（2）①過(guò)P作PH⊥BC，垂足為H，如圖3，

在Rt△PHB中，
同理可得：PH=

2

2

（4-t）．
∴S_△BPQ=

1

2

BQ•PH
=

2

4

（4-t）t
=-

2

4

t²+

2

t．
∴y=S_△ABC-S_△BPQ=8-（-

2

4

t²+

2

t）=

2

4

t²-

2

t+8．
由題意可知：0＜t＜4．
∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

4

t²-

2

t+8，0＜t＜4．
②y=

2

4

t²-

2

t+8=

2

4

（t-2）²+8-

2

．
∵

2

4

＞0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y取得最小值，最小值是8-

2

． 

（3）如圖3，

在Rt△PQH中，
∵PH=

1

2

（4-t），HQ=

1

2

（4-t）-t，PQ=x
∴x²=〔

1

2

（4-t）〕²+〔

1

2

（4-t）-t〕²
化簡(jiǎn)得：x²=（2+

2

）t²-4（2+

2

）t+16．
∴t²-4t=

x2-16

2+ 2

．
∴y=

2

4

t²-

2

t+8=

2

4

（t²-4t）+8
=

2

4

×

x2-16

2+ 2

+8
=

2 -1

4

（x²-16）+8
=

2 -1

4

x²-4

2

+12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理、解一元一次方程等知識(shí)，而第三小題中將t²-4t整體代換是解決該題的關(guān)鍵．