【題目】如圖1,Rt△ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC=3,BC=4.
(1)如圖2,⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X,與邊BC相切于點(diǎn)Y.請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切.設(shè)⊙P的面積為S,你認(rèn)為能否確定S的最大值?若能,請(qǐng)你求出S的最大值;若不能,請(qǐng)你說明不能確定S的最大值的理由.
【答案】(1)作圖見解析;(2).
【解析】
試題(1)作出∠B的角平分線BD,再過X作OX⊥AB,交BD于點(diǎn)O,則O點(diǎn)即為⊙O的圓心;
(2)由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定,故應(yīng)分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切;⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí);⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)三種情況進(jìn)行討論.
試題解析:(1)如圖所示:
①以B為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫圓,分別交BC、AB于點(diǎn)G、H;②分別以G、H為圓心,以大于GH為半徑畫圓,兩圓相交于D,連接BD;③過X作OX⊥AB,交直線BD于點(diǎn)O,則點(diǎn)O即為⊙O的圓心.
(2)①當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切時(shí),由角平分線的性質(zhì)可知,動(dòng)點(diǎn)P是∠ABC的平分線BM上的點(diǎn),如圖1,在∠ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)P1(不為∠ABC的頂點(diǎn))
∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BPsin∠ABM,當(dāng)BP1>BO時(shí),P1Z>OX即P與B的距離越大,⊙P的面積越大,這時(shí),BM與AC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn); 如圖2,
∵∠BPA>90°,過點(diǎn)P作PE⊥AB,垂足為E,則E在邊AB上,
∴以P為圓心、PC為半徑作圓,則⊙P與CB相切于C,與邊AB相切于E,即這時(shí)⊙P是符合題意的圓,
時(shí)⊙P的面積就是S的最大值,
∵AC=1,BC=2,∴AB=,
設(shè)PC=x,則PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中,PA2=PE2+AE2,
∴(1-x)2=x2+(-2)2,
∴x=2-4;
②如圖3,
同理可得:當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí),設(shè)PC=y,則(2-y)2=y2+(-1)2,
∴y=;
③如圖4,
同理可得,當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí),設(shè)PF=z,
∵△APF∽△PBE,
∴PF:BE=AF:PE,
∴,
∴z=.
由①、②、③可知,
>>
∴z>y>x,
∴⊙P的面積S的最大值為π.
考點(diǎn):1. 切線的性質(zhì);2.角平分線的性質(zhì);3.勾股定理;4.作圖—復(fù)雜作圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育休閑超市購(gòu)進(jìn)一種成本為元/個(gè)的風(fēng)箏,據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析,若按元/個(gè)銷售,一個(gè)月能售出個(gè),在此基礎(chǔ)上,售價(jià)每漲元/個(gè),月銷售量就減少個(gè).設(shè)這種風(fēng)箏的銷售單價(jià)為(元/個(gè)),該超市每月銷售這種風(fēng)箏的所獲得的利潤(rùn)為(元),針對(duì)這種風(fēng)箏的銷售情況,請(qǐng)解答下列問題:
用含的代數(shù)式分別表示出每個(gè)風(fēng)箏的銷售利潤(rùn)為________元,每月賣出的風(fēng)箏的個(gè)數(shù)是________個(gè);
求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
若該超市想在每月銷售這種風(fēng)箏的成本不超過元的情況下,使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到元,則每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)應(yīng)定為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,彈性小球從P(2,0)出發(fā),沿所示方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)小球第一次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1,第二次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2…,第n次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn,則P2020的坐標(biāo)是( )
A.(5,3)B.(3,5)C.(0,2)D.(2,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】齊齊哈爾市教育局想知道某校學(xué)生對(duì)扎龍自然保護(hù)區(qū)的了解程度,在該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷,問卷有以下四個(gè)選項(xiàng):A.十分了解;B.了解較多:C.了解較少:D.不了解(要求:每名被調(diào)查的學(xué)生必選且只能選擇一項(xiàng)).現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:
(1)本次被抽取的學(xué)生共有_______名;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形圖;
(3)扇形圖中的選項(xiàng)“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角的大小為_______°;
(4)若該校共有名學(xué)生,請(qǐng)你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校對(duì)于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在一段2000米長(zhǎng)的筆直公路上進(jìn)行跑步比賽,比賽開始時(shí)甲在起點(diǎn),乙在甲的前面200米,他們同時(shí)同向出發(fā)勻速前進(jìn),甲的速度是8米/秒,乙的速度是6米/秒,先到終點(diǎn)者在終點(diǎn)原地等待.設(shè)甲、乙兩人之間的距離是y米,比賽時(shí)間是x秒,當(dāng)兩人都到達(dá)終點(diǎn)計(jì)時(shí)結(jié)束,整個(gè)過程中y與之間的函數(shù)圖象是( )
A. B.
C. D.
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤的解為,其中正確的有( )
A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l//AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:
①線段MN的長(zhǎng);
②△PAB的周長(zhǎng);
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大小.
其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y= kx +b的圖像如圖所示,看圖填空:
(1)當(dāng)x=0時(shí),y= ;當(dāng)x= 時(shí),y=0
(2)k= ,b= .
(3)當(dāng)y=30時(shí),x= .
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【題目】已知和均為等腰直角三角形,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),已知為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,則的最小值為___________.
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