【題目】如圖1,Rt△ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC3BC4

1)如圖2,⊙ORt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X,與邊BC相切于點(diǎn)Y.請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)

2P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的⊙PRt△ABC的兩條邊相切.設(shè)⊙P的面積為S,你認(rèn)為能否確定S的最大值?若能,請(qǐng)你求出S的最大值;若不能,請(qǐng)你說明不能確定S的最大值的理由.

【答案】(1)作圖見解析;(2.

【解析】

試題(1)作出∠B的角平分線BD,再過XOX⊥AB,交BD于點(diǎn)O,則O點(diǎn)即為⊙O的圓心;

2)由于⊙P△ABC哪兩條邊相切不能確定,故應(yīng)分⊙PRt△ABC的邊ABBC相切;⊙PRt△ABC的邊ABAC相切時(shí);⊙PRt△ABC的邊BCAC相切時(shí)三種情況進(jìn)行討論.

試題解析:(1)如圖所示:

B為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫圓,分別交BC、AB于點(diǎn)G、H;分別以G、H為圓心,以大于GH為半徑畫圓,兩圓相交于D,連接BDXOX⊥AB,交直線BD于點(diǎn)O,則點(diǎn)O即為⊙O的圓心.

2當(dāng)⊙PRt△ABC的邊ABBC相切時(shí),由角平分線的性質(zhì)可知,動(dòng)點(diǎn)P∠ABC的平分線BM上的點(diǎn),如圖1,在∠ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)P1(不為∠ABC的頂點(diǎn))

∵OX=BOsin∠ABMP1Z=BPsin∠ABM,當(dāng)BP1BO時(shí),P1ZOXPB的距離越大,⊙P的面積越大,這時(shí),BMAC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn); 如圖2,

∵∠BPA90°,過點(diǎn)PPE⊥AB,垂足為E,則E在邊AB上,

P為圓心、PC為半徑作圓,則⊙PCB相切于C,與邊AB相切于E,即這時(shí)⊙P是符合題意的圓,

時(shí)⊙P的面積就是S的最大值,

∵AC=1,BC=2,∴AB=,

設(shè)PC=x,則PA=AC-PC=1-x

在直角△APE中,PA2=PE2+AE2,

1-x2=x2+-22

∴x=2-4

如圖3,

同理可得:當(dāng)⊙PRt△ABC的邊ABAC相切時(shí),設(shè)PC=y,則(2-y2=y2+-12

∴y=;

如圖4,

同理可得,當(dāng)⊙PRt△ABC的邊BCAC相切時(shí),設(shè)PF=z

∵△APF∽△PBE,

∴PFBE=AFPE,

∴z=

、可知,

∴zyx

∴⊙P的面積S的最大值為π

考點(diǎn):1. 切線的性質(zhì);2.角平分線的性質(zhì);3.勾股定理;4.作圖復(fù)雜作圖.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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用含的代數(shù)式分別表示出每個(gè)風(fēng)箏的銷售利潤(rùn)為________元,每月賣出的風(fēng)箏的個(gè)數(shù)是________個(gè)

之間的函數(shù)關(guān)系式;

若該超市想在每月銷售這種風(fēng)箏的成本不超過元的情況下,使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到元,則每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)應(yīng)定為多少元?

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1)本次被抽取的學(xué)生共有_______名;

2)請(qǐng)補(bǔ)全條形圖;

3)扇形圖中的選項(xiàng)“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角的大小為_______°;

4)若該校共有名學(xué)生,請(qǐng)你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校對(duì)于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名?

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其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )

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