Question

．閱讀：如圖1，點(diǎn)P（x，y）在平面直角坐標(biāo)中，過點(diǎn)P作PA⊥x軸，垂足為A，將點(diǎn)P繞垂足A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，我們稱點(diǎn)P到點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)為傾斜α運(yùn)動(dòng)．例如：點(diǎn)P（0，2）傾斜30°運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（1，）．

圖形E在平面直角坐標(biāo)系中，圖形E上的所有點(diǎn)都作傾斜α運(yùn)動(dòng)后得到圖形E′，這樣的運(yùn)動(dòng)稱為圖形E的傾斜α運(yùn)動(dòng)．

理解

（1）點(diǎn)Q（1，2）傾斜60°運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為　　　　　　；

（2）如圖2，平行于x軸的線段MN傾斜α運(yùn)動(dòng)后得到對(duì)應(yīng)線段M′N′，M′N′與MN平行且相等嗎？說明理由．

應(yīng)用：（1）如圖3，正方形AOBC傾斜α運(yùn)動(dòng)后，其各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′，F(xiàn)′，G′，H′構(gòu)成的四邊形是什么特殊四邊形：　　　　　　；

（2）如圖4，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0），C（3，2），將△ABC傾斜α運(yùn)動(dòng)后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′為直角，其中點(diǎn)A′，B′，C′為點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．請(qǐng)求出cosα的值．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．

【分析】理解：

（1）根據(jù)題目中稱點(diǎn)P到P′的運(yùn)動(dòng)為傾α運(yùn)動(dòng)的定義來求Q′的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題目中圖形E的傾α運(yùn)動(dòng)的定義可以判斷M′N′與MN的關(guān)系；

應(yīng)用：

（1）參考理解（2）可得，正方形AOBC旋轉(zhuǎn)后形成菱形，菱形的四邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形；

（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函數(shù)求得cosα的值．

【解答】解：（1）如圖1，

過點(diǎn)Q作QA⊥x軸，垂足為A，過旋轉(zhuǎn)Q′作x軸的垂線，垂足為B，

在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，

由勾股定理得AB=，

∴OB=1+，

∴Q′的坐標(biāo)為（1+，1）．故答案為：（1+，1）．

（2）M′N′與MN平行且相等，

理由如下：

如圖2，

分別過點(diǎn)M、N作MA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴MN∥AB，且MN=AB，

由定義可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，

∴四邊M′ABN′是平行四邊形，

∴M′N′∥AB，M′N′=AB，

∴M′N′與MN平行且相等．

應(yīng)用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋轉(zhuǎn)后形成菱形，

菱形的四邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形．

故答案為：矩形；

（2）能，cosα=．

如圖3，

設(shè)AB的中點(diǎn)為D，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴CD∥x軸，且CD=2，

∵D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′是A′B′中點(diǎn)，C′D′=2，

∴C′D′=A′B′，

∴A′B′=4=OA′，

∵∠α=∠OA′B′，

∴cosα=．

【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)前后找到相等的量．