Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2+

2

2

x+2，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，于y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸．它有最大值還是最小值？是多少？
（3）證明△ABC為直角三角形．
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0，y=0，y＜0．
（5）在拋物線上，除點(diǎn)C外，是否還存在另一動(dòng)點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0求出y的值即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及最值；
（3）利用勾股定理列式求出AC、BC，再利用勾股定理逆定理判斷即可；
（4）根據(jù)二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系分別寫出即可；
（5）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

解答：（1）解：令y=0，則-

1

2

x²+

2

2

x+2=0，
整理得，x²-

2

x-4=0，
解得x₁=-

2

，x₂=2

2

，
所以，A（-

2

，0），B（2

2

，0），
令x=0，則y=2，
所以，點(diǎn)C（0，2）；

（2）解：∵y=-

1

2

x²+

2

2

x+2=-

1

2

（x-

2

2

）²+

9

4

，
所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

2

，

9

4

），
對(duì)稱軸是直線x=

2

2

，
有最大值，最大值是

9

4

；

（3）證明：AC=

( 2 )2+22

=

6

，
BC=

(2 2 )2+22

=2

3

，
AB=2

2

-（-

2

）=3

2

，
∵AC²+BC²=（

6

）²+（2

3

）²=18，
AB²=（3

2

）²=18，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（4）解：當(dāng)-

2

＜x＜2

2

時(shí)，y＞0，
當(dāng)x=-

2

或x-2

2

時(shí)，y＞0，
當(dāng)x＜-

2

或x＞2

2

時(shí)，y＜0；

（5）解：存在點(diǎn)P，且P點(diǎn)與C點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∵點(diǎn)C（0，2），對(duì)稱軸為直線x=

2

2

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2×

2

2

-0=

2

，
∴P（

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及最值問(wèn)題，勾股定理和勾股定理逆定理，二次函數(shù)與不等式．