Question

已知拋物線y=x²+bx+1頂點最初在x軸上，且位于y軸左側(cè)，現(xiàn)將該拋物線向下平移，設(shè)拋物線在平移過程中，頂點為D，與x軸的兩交點為A，B．
（1）試求該拋物線的對稱軸；
（2）在最初的狀態(tài)下，至少向下平移多少個單位，點A，B之間的距離不小于6個單位？
（3）在最初的狀態(tài)下，若向下平移m²（m＞0）個單位時，對應(yīng)線段AB長為n，若w=m²-n，問m為何值時，w最小，最小值是多少．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：幾何變換

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到△=b²-4b=0，解得b=±2，由于對稱軸x=-

b

2

位于y軸左側(cè)，則b=-2，于是得到該拋物線的對稱軸為直線x=-1；
（2）設(shè)在最初的狀態(tài)下，至少向下平移t個單位（t＞0），點A，B之間的距離不小于6個單位，根據(jù)拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²-t，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題可得到點A和B的坐標(biāo)為（-1-

t

，0），（-1+

t

，0），則AB=2

t

，根據(jù)題意得2

t

≥6，解得t≥9，所以拋物線至少向下平移9個單位，點A，B之間的距離不小于6個單位；
（3）根據(jù)拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²-m²，與（2）一樣可得點A和B的坐標(biāo)為（-1-m，0），（-1+m，0），于是可得n=2m，則w=m²-2m=（m-1）²-1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+1頂點最初在x軸上，
∴△=b²-4b=0，解得b=±2，
∵對稱軸x=-

b

2

位于y軸左側(cè)，
∴b=-2，
∴該拋物線的對稱軸為直線x=-1；
（2）設(shè)在最初的狀態(tài)下，至少向下平移t個單位（t＞0），點A，B之間的距離不小于6個單位，
則平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²-t，
∵當(dāng)y=0時，（x+1）²-t=0，解得x₁=-1+

t

，x₂=-1-

t

，
∴點A和B的坐標(biāo)為（-1-

t

，0），（-1+

t

，0），
∴AB=-1+

t

-（-1-

t

）=2

t

，
∵2

t

≥6，
∴t≥9，
∴至少向下平移9個單位，點A，B之間的距離不小于6個單位；
（3）平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²-m²，
∵當(dāng)y=0時，（x+1）²-m²=0，解得x₁=-1+m，x₂=-1-m，
∴點A和B的坐標(biāo)為（-1-m，0），（-1+m，0），
∴AB=-1+m-（-1-m）=2m，即n=2m，
∴w=m²-2m=（m-1）²-1，
∴當(dāng)m=1時，w最小，最小值為-1．

點評：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了拋物線與x軸的交點問題．