如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.
(1)圖中有哪兩個(gè)三角形相似?
(2)求證:AC2=AD•AB;BC2=BD•BA;CD2=AD•BD;
(3)若AD=2,DB=8,求AC,BC,CD的長(zhǎng);
(4)若AC=6,DB=9,求AD,CD,BC的長(zhǎng);
(5)求證:AC•BC=AB•CD.
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)
專(zhuān)題:
分析:(1)由條件可知∠A=∠DCB,∠ACD=∠B,可證得△ACD∽△ABC∽△CDB;
(2)利用(1)可得到
AC
AD
=
AB
AC
,
BC
BA
=
BD
BC
,
CD
AD
=
BD
CD
,可證得結(jié)論;
(3)代入(2)中結(jié)論可求得;
(4)同(3)代入(2)可求得;
(5)利用面積相等即可得出結(jié)論.
解答:(1)解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ACB,
∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△ABC,△ACD∽△CDB,
同理可證得△CDB∽△ABC,
∴相似的三角形有:△ACD和△ABC,△ACD和△CDB,△CDB和△ABC;
(2)證明:∵△ACD∽△ABC,
AC
AD
=
AB
AC
,
∴AC2=AD•AB,
同理可得
BC
BA
=
BD
BC
,
CD
AD
=
BD
CD

∴BC2=BD•AB,CD2=AD•BD;
(3)解:∵AD=2,DB=8,
∴CD2=AD•BD=2×8=16,
∴CD=4,
又∵AB=AD+BD=10,
∴AC2=AD•AB=2×10=20,BC2=BD•AB=8×10=80,
∴AC=2
5
,BC=4
5
;
(4)解:∵AC=6,DB=9,且AB=AD+BD,
∴AC2=AD(AD+BD),即62=AD2+9AD,
解得AD=3或(-12舍去),
∴CD2=AD•BD=3×9=27,
∴CD=3
3
,
∴AB=AD+BD=12,
∴BC2=BD•AB=9×12=108,
∴BC=6
3
;
(5)證明:∵S△ABC=
1
2
AC•BC,且S△ABC=
1
2
CD•AB,
∴AC•BC=CD•AB.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì),掌握直角三角形中角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,注意方程思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用一塊邊長(zhǎng)為a的正方形硬紙板,在四個(gè)角上剪去四個(gè)相同的邊長(zhǎng)為b的小正方形后做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子.
(1)求這個(gè)盒子的表面積;
(2)當(dāng)a=32,b=4時(shí),求盒子的表面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

閱讀下列解題過(guò)程:
已知
x
x2+1
=
1
3
,求
x2
x2+1
的值.
解:由
x
x2+1
=
1
3
,知x≠0,所以
x2+1
x
=3,即x+
1
x
=3.
x4+1
x2
=x2+
1
x2
=(x+
1
x
)
2
-2=32-2=7.
x2
x2+1
的值為7的倒數(shù),即
1
7

以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)”,然后求出特求式子倒數(shù)的值,我們把此題的這種解法叫做“倒數(shù)法”,請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面問(wèn)題:
(1)已知
x
x2-x+1
=7,求
x2
x4+x2+1
的值.
(2)已知
xy
x+y
=2,
yz
y+z
=
4
3
zx
z+x
=
4
3
,求
xyz
xy+yz+zx
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如果圖形甲與圖形乙相似,圖形乙與圖形丙相似,那么圖形甲與圖形丙
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角△ABC中,∠C=90°,E、F在A(yíng)B上,DG分別在BD、AC上,且四邊形DEFG是正方形,求證:EF2=BE•AF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉,最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)f(x)來(lái)表示.例如f(x)=x2+3x-5,當(dāng)x=某數(shù)時(shí),多項(xiàng)式的值用f(某數(shù))來(lái)表示.例如x=-1時(shí)多項(xiàng)式x2+3x-5的值記為f(-1)=(-1)2+3×(-1)-5=-7
(1)已知g(x)=-2x2-3x+1,分別求出g(-1)和g(-2)值.
(2)已知h(x)=ax3+2x2-x-14,h(
1
2
)=a
,求a的值.
(3)試求出當(dāng)x為何值時(shí),f(x)=x2+3x-5取得最小值;最小值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的表面積為( 。
A、50πB、100π
C、150πD、175π

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列數(shù)中最小的數(shù)是( 。
A、-3
B、0
C、
3
2
D、4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在Rt△ABC中,∠B=90°,將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處,將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB、BC或其延長(zhǎng)線(xiàn)于E、F兩點(diǎn),若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)O處,當(dāng)OC=3AO,求OE:OF的值.

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