Question

正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，AD．
（1）求證：CD²=AC²-AC•CD．
（2）求

CD

AC

的值．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：（1）連接BD，先根據(jù)SAS定理得出△ABC≌△BCD故可得出AC=BD，∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠CDB，再由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△BFC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）由（1）知∠CDF=∠CAD=36°，AF=CD，故△CDF∽△CAD，由△ACD是黃金三角形，故可得出結論．

解答：（1）證明：連接BD，
∵是正五邊形ABCDE，
∴∠ABC=∠BCD=108°，AB=BC=CD．
在△ABC△BCD中，

AB=BC ∠ABC=∠BCD BC=CD

，
∴△ABC≌△BCD（SAS）
∴AC=BD，∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°，
∠AFB=∠ACB+∠CBD=36°+36°=72°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF．
∵∠BAC=∠FBC=36°，∠ACB=∠BCF，
∴△ABC∽△BFC，
∴

BC

CF

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CF．
∵BC=CD，CF=AC-AF=AC-CD，
∴CD²=AC×（AC-CD）=AC²-AC×CD．

（2）∵由（1）知∠CDF=∠CAD=36°，AF=CD，
∴△CDF∽△CAD，
∴

CD

AC

=

CF

CD

，即CD²=AC•CF，
∴△ACD是黃金三角形，
∴

CD

AC

=

5 -1

2

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，熟知正五邊形的性質(zhì)及黃金三角形的定義是解答此題的關鍵．