Question

如圖，在?ABCD中，點M為邊AD的中點，過點C作AB的垂線交AB于點E，連接ME．
（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°，求?ABCD的面積；
（2）若BC=2AB，求證：∠EMD=3∠MEA．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質以及直角三角形的性質得出CE的長，進而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），進而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，進而得出答案．

解答：（1）解：∵M為AD的中點，AM=2AE=4，
∴AD=2AM=8．在?ABCD的面積中，BC=CD=8，
又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=

1

2

BC=4，
∴AB=6，CE=4

3

，
∴?ABCD的面積為：AB×CE=6×4

3

=24

3

；

（2）證明：延長EM，CD交于點N，連接CM．
∵在?ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM=∠N，
在△AEM和△DNM中
∵

∠AEM=∠N AM=DM ∠AME=∠DMN

，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM=MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜邊的中線，
∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，
∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．
∵在平行四邊形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，
∴DC=MD，
∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，
∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，
即∠EMD=3∠AEM．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定以及全等三角形的判定與性質等知識，熟練應用平行四邊形的性質是解題關鍵．