Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P（a，b），我們定義：當(dāng)k為常數(shù)，且k≠0時(shí)，點(diǎn)P′（a+，ka+b）為點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

（1）點(diǎn)P（﹣2，1）的“3對(duì)應(yīng)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為　 　；若點(diǎn)P的“﹣2對(duì)應(yīng)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（﹣3，6），且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a＝　 　；

（2）若點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”P′在第一、三象限的角平分線（原點(diǎn)除外）上，求k值；

（3）若點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為P′點(diǎn)，且∠OP'P＝30°，求k值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，﹣5），﹣1；（2）k＝1；（3）k＝或﹣．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的定義列式計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等計(jì)算；

（3）根據(jù)點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的定義表示出P′點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計(jì)算即可．

解：（1）﹣2+＝﹣，﹣2×3+1＝﹣5，

則點(diǎn)P（﹣2，1）的“3對(duì)應(yīng)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（﹣，﹣5），

∵點(diǎn)P的“﹣2對(duì)應(yīng)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（﹣3，6），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，

∴﹣2a+4＝6，

解得，a＝﹣1，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a＝﹣1，

故答案為：（﹣，﹣5）；﹣1；

（2）∵點(diǎn)P′在第一、三象限的角平分線（原點(diǎn)除外）上，

∴a+＝ka+b，

整理得，（ka+b）（1﹣k）＝0，

由題意得，ka+b≠0，

∴1﹣k＝0，

解得，k＝1；

（3）如圖

∵點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），

則點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為P′點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，ka），

∴PP′⊥x軸，

∵∠OP'P＝30°，

∴＝tan30°，

∴＝，

解得，k＝±，

則點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)P的“k對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為P′點(diǎn)，∠OP'P＝30°時(shí)，k＝或﹣．