Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜90°，CD、BE分別為△ABC的中線，AF⊥CD，AG⊥BE，分別交CD、BE的延長線于點F、G，試問：
（1）AF與AG相等嗎？為什么？
（2）當(dāng)∠BAC=90°時，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用“＞”，“=”或“＜”填空）；
（3）當(dāng)∠BAC＞90°時，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用“＞”，“=”或“＜”填空）；
（4）通過本題，你可以得到結(jié)論：等腰三角形的頂點到兩腰中線所在直線的距離

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出AD=AE，根據(jù)SAS推出△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABG=∠ACF，求出∠AGB=∠AFC，根據(jù)ASA推出△AGB≌△AFC即可；
（2）求出AD=AE，根據(jù)SAS推出△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABG=∠ACF，求出∠AGB=∠AFC，根據(jù)ASA推出△AGB≌△AFC即可；
（3）求出AD=AE，根據(jù)SAS推出△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABG=∠ACF，求出∠AGB=∠AFC，根據(jù)ASA推出△AGB≌△AFC即可；
（4）根據(jù)以上結(jié)論得出即可．

解答：解：（1）AF=AG，
理由是：∵CD和BE是△ABC的中線，
∴AE=

1

2

AC，AD=

1

2

AB，
∵AC=AB，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABG=∠ACF，
∵AF⊥CD，AG⊥BE，
∴∠AGB=∠AFC，
在△AGB和△AFC中

∠AGB=∠AFC AB=AC ∠ABG=∠ACF

∴△AGB≌△AFC（ASA），
∴AF=AG；

（2）AF=AG，
理由是：∵CD和BE是△ABC的中線，
∴AE=

1

2

AC，AD=

1

2

AB，
∵AC=AB，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABG=∠ACF，
∵AF⊥CD，AG⊥BE，
∴∠AGB=∠AFC，
在△AGB和△AFC中

∠AGB=∠AFC AB=AC ∠ABG=∠ACF

∴△AGB≌△AFC（ASA），
∴AF=AG，
故答案為：=；

（3）AF=AG，
理由是：∵CD和BE是△ABC的中線，
∴AE=

1

2

AC，AD=

1

2

AB，
∵AC=AB，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABG=∠ACF，
∵AF⊥CD，AG⊥BE，
∴∠AGB=∠AFC，
在△AGB和△AFC中

∠AGB=∠AFC AB=AC ∠ABG=∠ACF

∴△AGB≌△AFC（ASA），
∴AF=AG，
故答案為：=；

（4）通過本題，你可以得到結(jié)論：等腰三角形的頂點到兩腰中線所在直線的距離相等，
故答案為：相等．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，證明過程類似，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．