Question

已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交與點C，點A、C的坐標分別是（-1，0）、（0，

3

2

）．
（1）請在平面直角坐標系內(nèi)畫出示意圖；
（2）求此圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點P是此二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱性可求得B點坐標為（3，0），再根據(jù)描點法，可畫出圖象；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點的坐標代入可求得解析式；
（3）根據(jù)題意AB不變，則當點P離x軸遠則△ABP的面積越大，可知點P為頂點，可求得頂點坐標，再計算出△APB的面積即可．

解答：解：
（1）∵對稱軸為x=1，A為（-1，0），
∴B為（3，0），
∴拋物線圖象示意圖如圖所示：

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵圖象過A、B、C三點，
∴把三點的坐標代入可得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3 2

，解得

a=- 1 2 b=1 c= 3 2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（3）根據(jù)題意可知當P為頂點時△ABP的面積最大，由（2）可求得其頂點坐標為（1，2），且AB=4，
∴S_△ABP=

1

2

×4×2=4，
即△ABP面積的最大值為4．

點評：本題主要考查待定每當法求函數(shù)解析式，掌握應(yīng)用待定系數(shù)法的關(guān)鍵是點的坐標，在（3）中知道當P為頂點時△ABP的面積最大是關(guān)鍵．