Question

【題目】定義：兩個(gè)相似等腰三角形，如果它們的底角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，那么把這兩個(gè)三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”．如圖，在與中， ，且所以稱與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為，連接，則稱會(huì)為“關(guān)聯(lián)比"．

下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與α之間的關(guān)系的思維過(guò)程，請(qǐng)閱讀后，解答下列問(wèn)題：

[特例感知]

當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時(shí)，

①在圖1中，若點(diǎn)落在上，則“關(guān)聯(lián)比”=

②在圖2中，探究與的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”的值．

[類比探究]

如圖3，

①當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時(shí)，“關(guān)聯(lián)比”=

②猜想：當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時(shí)，“關(guān)聯(lián)比”= (直接寫出結(jié)果，用含的式子表示)

[遷移運(yùn)用]

如圖4， 與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”．若點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）

【解析】

（1）①由α=90°可得△ABC與△AED為等腰直角三角形，斜邊AC=AB，AD=AE，而DC=AC-AD，EB=AB-AE，代入計(jì)算即求得＝．

②由△ABC與△AED為等腰直角三角形可得∠BAC=∠EAD=45°，減去公共角∠CAE得∠CAD=∠BAE，再加上兩夾邊成比例，證得△CAD∽△BAE，所以等于相似比．

（2）①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，由α=120°可得∠EAD=30°，所以得到Rt△AED的三邊比，則AE=2EF，AF=EF，進(jìn)而有AD=2AF=2EF，代入計(jì)算即求得＝．

②由α=n°可得∠EAD=90°-，又因?yàn)?/span>cos∠EAD=，所以得AF=AEcos（90°-），AD=2AF=2AEcos（90°-），根據(jù)①的證明過(guò)程可得＝=2cos（90°-）．

（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的條件求得PB的長(zhǎng)，即求得點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)BE的長(zhǎng)．連接CD，由（1）②的證明過(guò)程可知△CAD∽△BAE，所以∠ACD=∠ABE為一個(gè)定角，即點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路徑是線段CD．根據(jù)“關(guān)聯(lián)比”的值為，求得CD=EB=×＝．

解：（1）①∵當(dāng)時(shí),與為等腰直角三角形

故答案為：

②當(dāng)時(shí)，

均為等腰直角三角形

又

“關(guān)聯(lián)比”為

①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F
∴∠AFE=90°
∵AE=DE，∠AED=α=120°

∴∠EAD=∠EDA=30°，AF=DF

∴AE=2EF，AF=EF

∴AD=2AF=2EF

∴

同理可證：∠BAC=30°，

∴∠EAD+∠CAE=∠BAC+∠CAE
即∠CAD=∠BAE
∴△CAD∽△BAE

故答案為：．

②過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F

中，

由①的證明過(guò)程可得

故答案為：2cos

如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形"，

，

與均為等腰直角三角形，

∵

連接，由上可知．≌

=定角，

點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑是線段

∵時(shí)，“關(guān)聯(lián)比”為，

當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑