【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上,且拋物線經(jīng)過(guò)O,A兩點(diǎn),直線AC交拋物線于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解:(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3)。

設(shè)拋物線解析式為

將A(4,0)坐標(biāo)代入得:0=4a+3,即

拋物線解析式為。

(2)設(shè)直線AC解析式為(k≠0),

將A(4,0)與C(0,3)代入得:,解得:。

直線AC解析式為。

與拋物線解析式聯(lián)立得:,解得:。

點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,)。

(3)存在,分兩種情況考慮:

當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí),如圖1所示:

四邊形ADMN為平行四邊形,DMAN,DM=AN,

由對(duì)稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,

N1(2,0),N2(6,0)。

當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),如圖2所示:

過(guò)點(diǎn)D作DQx軸于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)M作MPx軸于點(diǎn)P,可得ADQ≌△NMP,

MP=DQ=,NP=AQ=3。

將yM=代入拋物線解析式得:

解得:xM=或xM=。

xN=xM-3=,

N3,0),N4,0)。

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè):

N1(2,0),N2(6,0),N3,0),N4,0)。

【解析】

試題(1)由OA的長(zhǎng)度確定出A的坐標(biāo),再利用對(duì)稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式,將A的坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;。

(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)。

(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí),DMAN,DM=AN,由對(duì)稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長(zhǎng),即可確定出N的坐標(biāo);當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得ADQ≌△NMP,MP=DQ=,NP=AQ=3,將y=代入得:,求出x的值,確定出OP的長(zhǎng),由OP+PN求出ON的長(zhǎng)即可確定出N坐標(biāo)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求b,k的值;

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2)以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將ABC放大,相似比為2,畫出放大后的A'B'C'

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(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)選修D類數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色,現(xiàn)從4人中隨機(jī)抽取2人做校報(bào)設(shè)計(jì),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率.

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自相似圖形

定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),連接EG,HF交于點(diǎn)O,易知分割成的四個(gè)四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.

任務(wù):

(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中,每個(gè)正方形與原正方形的相似比為   ;

(2)如圖2,已知ABC中,ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D,則CD將ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則ACD與ABC的相似比為   ;

(3)現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形,其中長(zhǎng)AD=a,寬AB=b(a>b).

請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇   題.

A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含n,b的式子表示);

B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含m,n,b的式子表示).

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