Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P做軸交BC于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，若以點(diǎn)M，N，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ長度的最大值為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸為直線x=1，和點(diǎn)A坐標(biāo)可知點(diǎn)B坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出過B，C兩點(diǎn)的直線解析式，之后即可設(shè)出，，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，即可得出，化成頂點(diǎn)式即可求出答案；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，n）.分四邊形CBMN為平行四邊形，四邊形CMBN為平行四邊形，四邊形CMBN為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程，解答即可得出答案.

解（1）∵對稱軸為直線x=1，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0），

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,0）

將A（-1,0），B（3,0），C（0,3）代入中有：

，

解得：

∴拋物線解析式為：．

（2）設(shè)過B，C兩點(diǎn)的直線解析式為

將B（3,0），C（0,3）代入解得b=3,k=-1，

∴直線BC的解析式為．

設(shè)點(diǎn)，．

∴．

∴

∴當(dāng)時(shí)，長度的最大值為．

此時(shí)，．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，n）.分三種情況考慮：

①如圖1，當(dāng)四邊形CBMN為平行四邊形時(shí)，有1-0=m-3，解得m=4，

所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,0）

②如圖2，當(dāng)四邊形CMBN為平行四邊形時(shí)，有m-1=0-3，解得m=-2，

所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2,0）

③如圖3，當(dāng)四邊形CMBN為平行四邊形時(shí)，有0-1=m-3，解得m=2，

所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．