Question

如圖1，A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，P為y軸上一點(diǎn)且∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖2，若點(diǎn)A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，已知A（2，5），∠OPB=∠OAB，求PO+PB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OA=AB，根據(jù)∠AOB的大小可以求得∠OPB=60°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊一半即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP=OE，可證∠POA=∠EOB，可證△POA≌△EOB，可得PA=EB，即可解題；
（3）延長BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸，可證BP=PD，即可求得PO+PB=OP+PD=OD即可解題．

解答：解：（1）∵∠OPB=∠OAB，∠AOB=60°，
∴∠OPB=60°，
∴∠OBP=30°，
∵PB=4，
∴OP=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP=OE，

∵∠OPE=60°，
∴△POE是等邊三角形，
∴∠POE=60°，PE=PO=OE，
∵∠AOB=60°，
∴∠POA=∠EOB 
在△POA和△EOB中，

OP=OE ∠POA=∠EOB OA=OB

，
∴△POA≌△EOB（SAS），
∴PA=EB，
∴PB=PE+EB=PO+PA； 
（3）延長BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸；

∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABP，
∴AD=OA，BP=PD，
∴E為OD中點(diǎn)，
∵OE=AH=5，
∴PO+PB=OP+PH+HB=OP+PE+OE=2OE=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中每一問作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．