【題目】點P為⊙O內(nèi)一點,A、B、C、D為圓上順次四個點,連接AB、CD,OM⊥AB于點M,連接MP并延長交CD于點N,連接PA、PB、PC、PD.
(1)如圖1,若A、P、C三點共線,B、P、D三點共線,且AC⊥BD,求證:PN⊥CD;
(2)如圖2,若PA=PD,PA⊥PD,PC=PB,PC⊥PB,求證:PN⊥CD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,PA=10,PC=6,∠APB=60°,求MN的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)7+
【解析】
由OM⊥AB于點M,知M是AB的中點;
(1)∠APM+∠B=90°,證明∠APM=∠CPN即可;
(2)(3)通過作圖證:△AEN≌△BPM(AAS)和△DPC≌△PAE(SAS)即可.
解:∵OM⊥AB于點M,
∴M是AB的中點;
(1)如圖1,M是AB的中點,在Rt△APB中,∠A=∠APM,
∵AC⊥BD,
∴∠APB=90°,
∴∠A+∠B=90°,即:∠APM+∠B=90°,
而∠B=∠C,∠APM=∠CPN,即:∠CPN+∠C=90°,
∴PN⊥CD;
(2)如圖:過A點作AE∥PB,延長PM至E,
M是AB的中點,易證:△AEN≌△BPM(AAS),
∵AE∥PB,
∴∠EAP+∠APB=180°,
而∠DPC+∠APB=360°﹣90°﹣90°=180°,
∴∠EAP=∠DPC,
易證:△DPC≌△PAE(SAS),
∴∠APE=∠D,而∠APE+∠DPN=180°﹣90°=90°,
即:∠D+∠DPN=90°,
∴PN⊥CD;
(3)按照(2)的思路易證,
△AEN≌△BPM(AAS),△DPC≌△PAE(SAS),
∴PM=PE,PE=CD,
∵∠APB=60°,
∴∠DPC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,
在△DPC中,PD=PA=10,PC=6,∠DPC=120°,
易解,PN=,CD=14,
而PM=PE=CD=7,
∴MN=PM+PN=7+,
即:MN的長為7+.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店經(jīng)銷進價分別為元/千克、元/千克的甲、乙兩種水果,下表是近兩天的銷售情況:(進價、售價均保持不變,利潤=售價-進價)
時間 | 甲水果銷量 | 乙水果銷量 | 銷售收入 |
周五 | 千克 | 千克 | 元 |
周六 | 千克 | 千克 | 元 |
(1)求甲、乙兩種水果的銷售單價;
(2)若水果店準(zhǔn)備用不多于元的資金再購進兩種水果共千克,求最多能夠進甲水果多少千克?
(3)在(2)的條件下,水果店銷售完這千克水果能否實現(xiàn)利潤為元的目標(biāo)?若能,請給出相應(yīng)的采購方案;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解七、八年級學(xué)生對“新冠”傳播與防治知識的掌握情況,從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進行測試,并對成績(百分制)進行整理和分析.部分信息如下:
a.七年級成績頻數(shù)分布直方圖:
b.七年級成績在70m80這一組的是:
70,72,72,75,76,76,77,77,78,79,79
c.七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下:
年級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) |
七 | 76.9 | a |
八 | 79.2 | 79.5 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)在這次測試中,七年級在70分以上的有 人,表格中a的值為 ;
(2)在這次測試中,七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是79分,請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前;
(3)該校七年級學(xué)生有500人,假設(shè)全部參加此次測試,請你估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】浙江實施“五水共治“以來,越來越重視節(jié)約用水,某地對居民用水按階梯水價方式進行收費,人均月生活用水收費標(biāo)準(zhǔn)如圖所示,圖中x表示人均月生活用水的噸數(shù),y表示收取的人均月生活用水費(元),請根據(jù)圖象信息,回答下列問題.
(1)請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若某個家庭有5人,響應(yīng)節(jié)水號召,計劃控制1月份的生活用水費不超過76元,則該家庭這個月最多可以用多少噸水?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖l、圖2均為8×6的方格紙(每個小正方形的邊長均為1),在方格紙中各有一條線段AB,其中點A、B均在小正方形的頂點上,請按要求畫圖:
(1)在圖l中畫一直角△ABC,使得tan∠BAC=,點C在小正方形的頂點上;
(2)在圖2中畫一個□ABEF,使得□ABEF的面積為圖1中△ABC面積的4倍,點E、F在小正方形的頂點上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在信息快速發(fā)展的社會,“信息消費”已成為人們生活的重要部分.鄭州市的一個社區(qū)隨機抽取了部分家庭,調(diào)查每月用于信息消費的金額,數(shù)據(jù)整理成如圖所示的不完整統(tǒng)計圖.已知A、B兩組戶數(shù)直方圖的高度比為1:5,請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題.
(1)A組的頻數(shù)是 ,本次調(diào)查樣本的容量是 ;
(2)補全直方圖(需標(biāo)明各組頻數(shù));
(3)若該社區(qū)有1500戶住戶,請估計月信息消費額不少于300元的戶數(shù)是多少?
月消費額分組統(tǒng)計表
組別 | 消費額(元) |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場購進一種每件價格為90元的新商品,在商場試銷時發(fā)現(xiàn):銷售單價元件與每天銷售量件之間滿足如圖所示的關(guān)系.
求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出售價定為多少時,每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC="30" m,由地面向上依次為第1層、第2層、…、第10層,每層高度為3 m.假設(shè)某一時刻甲樓在乙樓側(cè)面的影長EC=h,太陽光線與水平線的夾角為α .
(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范圍);
(2) 當(dāng)α=30°時,甲樓樓頂B點的影子落在乙樓的第幾層?若α每小時增加15°,從此時起幾小時后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光 ?
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