Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交射線BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，EG與CG的數(shù)量關(guān)系為

 

，位置關(guān)系為

 

；當(dāng)點(diǎn)F與BC的延長線相交時(shí)（如圖②），EG與CG的數(shù)量和位置關(guān)系是否成立？若成立，加以證明，不成立，請說明理由．
（2）若正方形ABCD的邊長為4，問點(diǎn)E在BD何處時(shí)，EG的取值最小，并求出EG的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由垂直的定義及正方形的性質(zhì)就可以得出△DEF與△DCF為直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出EG=GD=CG=

1

2

DF，∠DGC=2∠BDC=90°而得出結(jié)論；如圖②由直角三角形的性質(zhì)就可以得出EG=GD=CG=

1

2

DF，由點(diǎn)D、E、C、F四點(diǎn)共圓就可以得出DF時(shí)直徑，點(diǎn)G是圓心，就有∠EGC=2∠EDC=90°得出結(jié)論；
（2）如圖3，由（1）的結(jié)論可以得出EG=

1

2

DF，要使EG最小，則DF最小，由F在射線BC上，只有DF⊥BC時(shí)BF=CD最小，就可以求出EG的最小值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°．
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°．
∵G為DF中點(diǎn)，
∴EG=GD=CG=

1

2

DF，
∴∠EGF=2∠EDF，∠CGF=2∠CDF，
∴∠EGF+∠CGF=2（∠EDF+∠CDF）=2∠CDE=2×45°=90°
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
故答案為：EG=CG，EG⊥CG．
如圖2，EG=CG，EG⊥CG．
理由：∵四邊形ABCD時(shí)正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°．
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°．
∴點(diǎn)D、E、C、F四點(diǎn)共圓．
∴DF為直徑．
∵G為DF中點(diǎn)，
∴G為圓心，
∴∠EGC=2∠EDC=90°，
∴EG⊥CG．
∵∠DEF=90°，∠BCD=90°，
∴△DEF與△DCF為直角三角形．
∵G為DF中點(diǎn)，
∴EG=

1

2

DF．CG=

1

2

DF，
∴EG=CG．
（2）如圖3，∵EG=

1

2

DF，
∴要使EG最小，
∴DF最�。�
∵F在射線BC上，
∴DF⊥BC時(shí)BF=CD最小．
∵CD=4，
∴EG的最小值=

1

2

×4=2．
答：EG的最小值為2．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵，點(diǎn)到直線的性質(zhì)的運(yùn)用是難點(diǎn)．