Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）AP的長為或6.

試題分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△APQ∽△ABC.
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP.
試題解析：
（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C.
在△APQ與△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠BPQ為鈍角，∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ.
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示,
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB.
∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AB中點(diǎn).
∴AP=2AB=2×3=6.
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長為或6.